苏州大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为
$$
\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C .
$$
其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明：
$$
\operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立坐标映射，证明秩相等
设 $\varphi: V \to \mathbb{R}^n$ 为坐标映射，即对任意 $\beta = \sum_{i=1}^n x_i \alpha_i$，有 $\varphi(\beta) = (x_1,\dots,x_n)^T$。由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是基，$\varphi$ 是线性同构。由 $\beta_j$ 的表达式，$\varphi(\beta_j)$ 等于矩阵 $C$ 的第 $j$ 列。因此，$\beta_1,\dots,\beta_m$ 线性相关当且仅当它们的坐标向量线性相关，故 $\operatorname{rank}\{\beta_1,\dots,\beta_m\} = \operatorname{rank}(C)$。
公式：$\varphi(\beta_j) = C_{[:,j]}$
提示：注意坐标映射是线性同构，保持线性关系。
步骤 2/4
目标：计算内积矩阵 Δ
定义 $G = (g_{ij})_{n\times n}$，其中 $g_{ij} = (\alpha_i,\alpha_j)$。由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 是基，$G$ 是正定对称矩阵，从而可逆。计算 $\Delta$ 的元素：
$$\Delta_{ij} = (\beta_i,\beta_j) = \left(\sum_{k=1}^n C_{ki}\alpha_k, \sum_{l=1}^n C_{lj}\alpha_l\right) = \sum_{k,l} C_{ki} C_{lj} (\alpha_k,\alpha_l) = (C^T G C)_{ij}.$$
因此 $\Delta = C^T G C$。
公式：$\Delta = C^T G C$
提示：注意内积的双线性性，正确展开求和。
步骤 3/4
目标：证明 rank(Δ) = rank(C)
由于 $G$ 是正定对称矩阵，存在可逆矩阵 $L$ 使得 $G = L^T L$（例如 Cholesky 分解）。则 $\Delta = C^T L^T L C = (LC)^T (LC)$。矩阵 $LC$ 的秩等于 $C$ 的秩，因为 $L$ 可逆。而 $(LC)^T (LC)$ 的秩等于 $LC$ 的秩（因为对于实矩阵 $A$，$\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$）。因此 $\operatorname{rank}(\Delta) = \operatorname{rank}(C)$。
公式：$\operatorname{rank}(C^T G C) = \operatorname{rank}(C)$
提示：注意 $G$ 可逆且对称正定，可分解为 $L^T L$，且 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$ 对实矩阵成立。
步骤 4/4
目标：综合结论
由第一步得 $\operatorname{rank}\{\beta_1,\dots,\beta_m\} = \operatorname{rank}(C)$，由第二步和第三步得 $\operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}(\Delta)$，因此三个秩相等。
提示：确保每一步的秩相等关系正确连接。
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