苏州大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．（25 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ ，其中 $p$ 为奇素数．
（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是不可约多项式．
（2）证明：存在矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle f(A)=O$ 的充要条件是 $\displaystyle p \mid n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变换多项式以应用Eisenstein判别法
令 $x = y-1$，则 $f(y-1) = (y-1)^p + p(y-1) + 1$。展开 $(y-1)^p$ 得 $\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} y^k (-1)^{p-k}$。由于 $p$ 是奇素数，$(-1)^p = -1$。
公式：$f(y-1) = (y-1)^p + p(y-1) + 1$
提示：注意 $p$ 是奇素数，$(-1)^p = -1$，不要误写为 $1$。
步骤 2/6
目标：化简变换后的多项式
计算 $f(y-1)$：
$$\begin{aligned} f(y-1) &= y^p - \binom{p}{1} y^{p-1} + \cdots + (-1)^{p-1} \binom{p}{p-1} y + (-1)^p + p y - p + 1 \\ &= y^p - p y^{p-1} + \cdots + (-1)^{p-1} p y + p y - p \quad (\text{因为 } (-1)^p = -1, \text{常数项 } -1 - p + 1 = -p) \end{aligned}$$ 注意一次项系数：来自 $(y-1)^p$ 的 $y$ 项系数为 $(-1)^{p-1} p = p$（因为 $p-1$ 为偶数），加上 $p(y-1)$ 的 $y$ 系数 $p$，得 $2p$。但Eisenstein判别法只需检查除首项外所有系数被 $p$ 整除，常数项不被 $p^2$ 整除。
公式：$f(y-1) = y^p + a_{p-1} y^{p-1} + \cdots + a_1 y + a_0$，其中 $a_0 = -p$
提示：注意常数项为 $-p$，不是 $p$；一次项系数为 $2p$，但只需知道它被 $p$ 整除即可。
步骤 3/6
目标：应用Eisenstein判别法证明不可约
在 $f(y-1)$ 中，首项系数为 $1$，其余系数（$a_{p-1}, \ldots, a_0$）均被素数 $p$ 整除（因为二项式系数 $\binom{p}{k}$ 对 $1 \le k \le p-1$ 被 $p$ 整除），且常数项 $a_0 = -p$ 不被 $p^2$ 整除。由Eisenstein判别法，$f(y-1)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，从而 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
公式：Eisenstein判别法：若存在素数 $p$ 使得 $p \mid a_i$（$i=0,\ldots,n-1$），$p \nmid a_n$，$p^2 \nmid a_0$，则多项式不可约。
提示：确保检查常数项不被 $p^2$ 整除：$p^2 \nmid p$ 成立。
步骤 4/6
目标：必要性证明：由 $f(A)=O$ 推出 $p \mid n$
设 $A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ 满足 $f(A)=O$，则 $f(x)$ 是 $A$ 的零化多项式。由于 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约（由(1)），$f(x)$ 是 $A$ 的极小多项式。极小多项式整除特征多项式 $\chi_A(\lambda)$，故 $f(\lambda) \mid \chi_A(\lambda)$。$\chi_A(\lambda)$ 是 $n$ 次多项式，$f(\lambda)$ 是 $p$ 次多项式，因此 $p \mid n$。
公式：$f(\lambda) \mid \chi_A(\lambda)$，$\deg f = p$，$\deg \chi_A = n$，故 $p \mid n$
提示：注意不可约多项式作为极小多项式时，必须整除特征多项式。
步骤 5/6
目标：充分性证明：由 $p \mid n$ 构造矩阵 $A$
设 $n = pk$。令 $C$ 为 $f(x)$ 的友矩阵（$p \times p$ 矩阵），则 $f(C)=O$。构造分块对角矩阵 $A = \operatorname{diag}(C, C, \ldots, C)$（共 $k$ 个块），则 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，且 $f(A)=O$。$C$ 的元素为 $0,1,-p$ 等有理数，故 $A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$。
公式：$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -p \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}_{p \times p}$，$f(C)=C^p + pC + I = O$
提示：友矩阵的构造：$f(x)=x^p + px + 1$ 的友矩阵最后一行系数为 $-1, -p, 0, \ldots, 0$（注意常数项在最后一列第一行）。
步骤 6/6
目标：总结结论
由(1)和(2)的证明，得到：$f(x)=x^p+px+1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约；存在 $A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ 使得 $f(A)=O$ 当且仅当 $p \mid n$。
提示：注意充要条件的两端都要证明。
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