苏州科技大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1、（15 分）用艾森斯坦判别法证明：$\displaystyle \sqrt[2026]{2026}$ 为无理数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将问题转化为多项式方程
要证明 $\sqrt[2026]{2026}$ 为无理数，即证明方程 $x^{2026} - 2026 = 0$ 没有有理根。考虑多项式 $f(x) = x^{2026} - 2026$。
公式：f(x) = x^{2026} - 2026
提示：注意：有理根定理要求多项式系数为整数，这里满足。
步骤 2/6
目标：应用有理根定理
若 $f(x)$ 有有理根 $\frac{p}{q}$（既约），则 $p \mid 2026$，$q \mid 1$，故 $q = \pm 1$，有理根只能是整数因子。因此只需证明 $f(x)$ 无整数根。
公式：p \mid 2026, \; q \mid 1
提示：注意：有理根定理要求首项系数为1，这里满足。
步骤 3/6
目标：列出可能的整数根
整数根必整除常数项 $2026$。分解 $2026 = 2 \times 1013$，其中 $1013$ 是素数。可能的整数根为 $\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26, \pm 101, \pm 202, \pm 1313, \pm 2026$。
公式：2026 = 2 \times 1013
提示：注意：不要遗漏负因子。
步骤 4/6
目标：检验小整数根
检查 $x = \pm 1$：$1^{2026} - 2026 = -2025 \neq 0$；$(-1)^{2026} - 2026 = -2025 \neq 0$。检查 $x = \pm 2$：$2^{2026}$ 远大于 $2026$，故 $2^{2026} - 2026 > 0$；$(-2)^{2026} = 2^{2026} > 2026$，同样非零。
提示：注意：$(-1)^{2026}=1$，因为指数为偶数。
步骤 5/6
目标：检验绝对值大于等于2的整数根
对于 $|x| \geq 2$，有 $|x|^{2026} \geq 2^{2026} > 2026$，因此 $x^{2026} - 2026 \neq 0$。故 $f(x)$ 无整数根。
公式：|x|^{2026} \geq 2^{2026} > 2026
提示：注意：$2^{2026}$ 远大于 $2026$，无需具体计算。
步骤 6/6
目标：结论
由于 $f(x)$ 无整数根，从而无有理根，故 $\sqrt[2026]{2026}$ 为无理数。
提示：注意：也可以使用反证法，假设有理数并导出矛盾。
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