📝 苏州科技大学 2026年高等代数真题

1、（15 分）用艾森斯坦判别法证明：$\displaystyle \sqrt[2026]{2026}$ 为无理数．

2、（15 分）计算 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2^{2} & 4^{2} & 5^{2} \\ 1 & -1 & 2^{3} & 4^{3} & 5^{3} \\ 1 & -1 & 2^{5} & 4^{5} & 5^{5}\end{array}\right|$ ．

3、（15 分）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda-2 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=2\end{array}, \lambda\right.$ 为何值时，有无穷多解？

4、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶实方阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{\top} A\right)=r(A)$ ，若 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，是否仍成立．

5、（15 分）$\displaystyle B^{3}=0$ 问：$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}E & B \\ B & E\end{array}\right)$ 可逆吗？求 $\displaystyle M^{-1}$ ．

6、（15 分）$\displaystyle f\left(x_{1} \cdots x_{n}\right)=x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}+4 \sum_{i, j=1}^{n} x_{i j}$ 的秩和符号差．

7、（15 分）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}$ ，用正交变换化为标准型．

8、（15 分）$A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle (n-m) \times n$ 矩阵，$\displaystyle W_{1}$ 为 $\displaystyle A X=0$ 的解立间，$\displaystyle W_{\text {、 }}$ 内
$\displaystyle B X=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 仅有 0 解当且仅当 $\displaystyle R^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

9、（15 分）$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 为非 0 固定向量．
（1）证明：$\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0\}$ 为 $V$ 的子空间。
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=n-1$ ．

10、（15 分）$\displaystyle \varepsilon_{1} \cdots \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的一组基 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 可逆当且仅当

$$
\sigma\left(\varepsilon_{1}\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_{n}\right)
$$

线性无关．