苏州科技大学 2026年高等代数第10题

已知 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基，$\dim V=n$，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。需要证明：$\sigma$ 可逆当且仅当 $\sigma(\varepsilon_1),\dots,\sigma(\varepsilon_n)$ 线性无关。

假设 $\sigma$ 可逆，则 $\sigma$ 是双射（单射且满射）。用反证法：若 $\sigma(\varepsilon_1),\dots,\sigma(\varepsilon_n)$ 线性相关，则存在不全为零的 $k_1,\dots,k_n$ 使得 $\sum_{i=1}^n k_i \sigma(\varepsilon_i)=0$。由线性性，$\sigma\left(\sum_{i=1}^n k_i \varepsilon_i\right)=0$。由于 $\sigma$ 是单射，得 $\sum_{i=1}^n k_i \varepsilon_i=0$。但 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ 线性无关，故 $k_1=\dots=k_n=0$，矛盾。因此 $\sigma(\varepsilon_1),\dots,\sigma(\varepsilon_n)$ 线性无关。

若 $\sigma(\varepsilon_1),\dots,\sigma(\varepsilon_n)$ 线性无关，由于 $\dim V=n$，它们构成 $V$ 的一组基。对任意 $\alpha\in V$，存在唯一表示 $\alpha=\sum_{i=1}^n a_i \sigma(\varepsilon_i)$。定义映射 $\tau: V\to V$ 为 $\tau(\alpha)=\sum_{i=1}^n a_i \varepsilon_i$。

对任意 $\alpha,\beta\in V$ 和标量 $c$，设 $\alpha=\sum a_i \sigma(\varepsilon_i)$，$\beta=\sum b_i \sigma(\varepsilon_i)$，则 $\alpha+\beta=\sum (a_i+b_i)\sigma(\varepsilon_i)$，$c\alpha=\sum (c a_i)\sigma(\varepsilon_i)$。于是 $\tau(\alpha+\beta)=\sum (a_i+b_i)\varepsilon_i = \tau(\alpha)+\tau(\beta)$，$\tau(c\alpha)=\sum (c a_i)\varepsilon_i = c\tau(\alpha)$。故 $\tau$ 是线性变换。

对任意 $\alpha\in V$，$\alpha=\sum a_i \sigma(\varepsilon_i)$，则 $\sigma\tau(\alpha)=\sigma\left(\sum a_i \varepsilon_i\right)=\sum a_i \sigma(\varepsilon_i)=\alpha$。因此 $\sigma\tau = \text{id}_V$。

对任意 $\beta\in V$，由于 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ 是基，设 $\beta=\sum b_i \varepsilon_i$，则 $\sigma(\beta)=\sum b_i \sigma(\varepsilon_i)$。于是 $\tau\sigma(\beta)=\tau\left(\sum b_i \sigma(\varepsilon_i)\right)=\sum b_i \varepsilon_i=\beta$。因此 $\tau\sigma = \text{id}_V$。

由 $\sigma\tau = \tau\sigma = \text{id}_V$ 知 $\tau$ 是 $\sigma$ 的逆变换，故 $\sigma$ 可逆。