苏州科技大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8、（15 分）$A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle (n-m) \times n$ 矩阵，$\displaystyle W_{1}$ 为 $\displaystyle A X=0$ 的解立间，$\displaystyle W_{\text {、 }}$ 内
$\displaystyle B X=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 仅有 0 解当且仅当 $\displaystyle R^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义解空间
设 $W_1 = \{X \in \mathbb{R}^n \mid AX=0\}$，$W_2 = \{X \in \mathbb{R}^n \mid BX=0\}$。
提示：注意解空间是齐次线性方程组的解集，是子空间。
步骤 2/6
目标：必要性：假设仅有零解，推导交为零
假设 $\binom{A}{B}X=0$ 仅有零解，即方程组 $\begin{cases} AX=0 \\ BX=0 \end{cases}$ 只有零解。这意味着 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
提示：公共解即交集，仅有零解等价于交集为零空间。
步骤 3/6
目标：必要性：利用秩不等式得到秩条件
考虑 $n \times n$ 矩阵 $C = \binom{A}{B}$。由于 $CX=0$ 仅有零解，$C$ 可逆，故 $\operatorname{rank}(C)=n$。由秩不等式：$\operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) \leq m + (n-m) = n$，因此 $\operatorname{rank}(A)=m$，$\operatorname{rank}(B)=n-m$。
公式：$\operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$
提示：注意 $A$ 是 $m \times n$，$B$ 是 $(n-m) \times n$，秩不超过行数。
步骤 4/6
目标：必要性：计算维数并得到直和
由秩-零化度定理：$\dim W_1 = n - \operatorname{rank}(A) = n-m$，$\dim W_2 = n - \operatorname{rank}(B) = m$。故 $\dim W_1 + \dim W_2 = n$。又 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$，因此 $\mathbb{R}^n = W_1 \oplus W_2$。
公式：$\dim W = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：直和条件：维数之和等于 $n$ 且交为零。
步骤 5/6
目标：充分性：假设直和，推导仅有零解
假设 $\mathbb{R}^n = W_1 \oplus W_2$，则 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。即方程组 $AX=0$ 和 $BX=0$ 只有公共零解，因此 $\binom{A}{B}X=0$ 仅有零解。
提示：充分性直接由直和定义得到。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$\binom{A}{B}X=0$ 仅有零解当且仅当 $\mathbb{R}^n = W_1 \oplus W_2$。
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