苏州科技大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6、（15 分）$\displaystyle f\left(x_{1} \cdots x_{n}\right)=x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}+4 \sum_{i, j=1}^{n} x_{i j}$ 的秩和符号差．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简二次型表达式
原二次型为 $f(x_1,\ldots,x_n) = x_1^2 + \cdots + x_n^2 + 4 \sum_{i,j=1}^n x_i x_j$。注意求和 $\sum_{i,j=1}^n x_i x_j = (\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{j=1}^n x_j) = (\sum_{i=1}^n x_i)^2$，因此 $f = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 4(\sum_{i=1}^n x_i)^2$。
公式：$\sum_{i,j=1}^n x_i x_j = (\sum_{i=1}^n x_i)^2$
提示：注意求和指标i和j独立，不要遗漏交叉项。
步骤 2/5
目标：写出二次型的矩阵形式
令 $\mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)^T$，则 $\sum_{i=1}^n x_i^2 = \mathbf{x}^T I \mathbf{x}$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。而 $(\sum_{i=1}^n x_i)^2 = \mathbf{x}^T J \mathbf{x}$，其中 $J$ 是元素全为1的 $n$ 阶矩阵。所以二次型的矩阵为 $A = I + 4J$。
公式：$A = I + 4J$
提示：注意J矩阵的定义：所有元素为1。
步骤 3/5
目标：求矩阵A的特征值
考虑向量 $\mathbf{1} = (1,1,\ldots,1)^T$，有 $J\mathbf{1} = n\mathbf{1}$，所以 $A\mathbf{1} = \mathbf{1} + 4n\mathbf{1} = (1+4n)\mathbf{1}$，特征值 $\lambda_1 = 1+4n$。对于与 $\mathbf{1}$ 正交的向量 $\mathbf{v}$（即 $\sum v_i = 0$），有 $J\mathbf{v} = 0$，所以 $A\mathbf{v} = \mathbf{v}$，特征值 $\lambda_2 = 1$，重数为 $n-1$。
公式：$A\mathbf{1} = (1+4n)\mathbf{1}$, $A\mathbf{v} = \mathbf{v}$ 当 $\sum v_i=0$
提示：注意正交补空间的维数为n-1，特征值1的重数正确。
步骤 4/5
目标：确定二次型的秩
二次型的秩等于矩阵A的非零特征值的个数。由于 $1>0$ 且 $1+4n>0$，所有特征值均非零，所以秩为 $n$。
公式：秩 = 非零特征值个数
提示：特征值全非零，秩等于阶数n。
步骤 5/5
目标：确定符号差
符号差 = 正惯性指数 - 负惯性指数。所有特征值均为正，所以正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $0$，符号差为 $n$。
公式：符号差 = p - q
提示：特征值全正，正惯性指数为n。
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