苏州科技大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5、（15 分）$\displaystyle B^{3}=0$ 问：$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}E & B \\ B & E\end{array}\right)$ 可逆吗？求 $\displaystyle M^{-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设逆矩阵并建立方程
设 $M^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，其中 $X,Y,Z,W$ 为与 $B$ 同阶的方阵。由 $M M^{-1} = I$ 得：
$$\begin{pmatrix} E & B \\ B & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X + BZ & Y + BW \\ BX + Z & BY + W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix}.$$
得到方程组：
$$\begin{cases} X + BZ = E, \\ Y + BW = 0, \\ BX + Z = 0, \\ BY + W = E. \end{cases}$$
公式：分块矩阵乘法
提示：注意分块矩阵乘法时，块与块之间的乘法顺序不能颠倒，因为矩阵乘法不交换。
步骤 2/5
目标：求解Y和W
由第二式 $Y = -BW$，代入第四式：$B(-BW) + W = -B^2W + W = (E - B^2)W = E$。因此 $W = (E - B^2)^{-1}$。由于 $B^3=0$，$B^2$ 是幂零矩阵，$E - B^2$ 可逆，且 $(E - B^2)^{-1} = E + B^2$（因为 $(E-B^2)(E+B^2)=E-B^4=E$）。所以 $W = E + B^2$，进而 $Y = -B(E+B^2) = -B - B^3 = -B$。
公式：$(E - B^2)^{-1} = E + B^2$
提示：注意 $B^3=0$ 意味着 $B^4=0$，因此 $(E-B^2)(E+B^2)=E$。
步骤 3/5
目标：求解X和Z
由第三式 $Z = -BX$，代入第一式：$X + B(-BX) = X - B^2X = (E - B^2)X = E$。故 $X = (E - B^2)^{-1} = E + B^2$，进而 $Z = -B(E+B^2) = -B$。
公式：同上
提示：注意与求解Y和W的对称性，避免重复计算。
步骤 4/5
目标：写出逆矩阵表达式
因此 $M^{-1} = \begin{pmatrix} E+B^2 & -B \\ -B & E+B^2 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵分块的位置对应正确。
步骤 5/5
目标：验证逆矩阵
计算 $M M^{-1}$：
$$\begin{pmatrix} E & B \\ B & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E+B^2 & -B \\ -B & E+B^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (E+B^2) - B^2 & -B + B(E+B^2) \\ B(E+B^2) - B & -B^2 + (E+B^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix}.$$
验证正确，故 $M$ 可逆。
提示：验证时注意 $B(E+B^2)=B+B^3=B$，以及 $B^2$ 与 $E$ 可交换。
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