苏州科技大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶实方阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{\top} A\right)=r(A)$ ，若 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，是否仍成立．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立线性方程组关系
考虑线性方程组 $A^\top A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 和 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$。若 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$，则左乘 $A^\top$ 得 $A^\top A \mathbf{x} = \mathbf{0}$，因此 $\ker(A) \subseteq \ker(A^\top A)$。
提示：注意左乘的顺序：$A^\top (A\mathbf{x}) = \mathbf{0}$。
步骤 2/7
目标：证明反向包含关系
若 $A^\top A \mathbf{x} = \mathbf{0}$，则左乘 $\mathbf{x}^\top$ 得 $\mathbf{x}^\top A^\top A \mathbf{x} = (A\mathbf{x})^\top (A\mathbf{x}) = \|A\mathbf{x}\|^2 = 0$。由于 $A\mathbf{x}$ 是实向量，其范数为零当且仅当 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$，因此 $\ker(A^\top A) \subseteq \ker(A)$。
公式：$\|A\mathbf{x}\|^2 = (A\mathbf{x})^\top (A\mathbf{x})$
提示：实向量的范数平方非负，且为零当且仅当向量为零。
步骤 3/7
目标：得出核相等
由 $\ker(A) \subseteq \ker(A^\top A)$ 和 $\ker(A^\top A) \subseteq \ker(A)$ 得 $\ker(A^\top A) = \ker(A)$。
提示：核相等意味着解空间相同。
步骤 4/7
目标：由核相等推出秩相等
由核相等得 $n - r(A^\top A) = n - r(A)$，即 $r(A^\top A) = r(A)$。
公式：$\dim\ker(A) = n - r(A)$
提示：秩-零化度定理：$r(A) + \dim\ker(A) = n$。
步骤 5/7
目标：考虑复方阵情况
对于复方阵 $A$，若将转置改为共轭转置 $A^*$，则 $r(A^*A) = r(A)$ 仍成立，证明类似：由 $A^*A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 得 $\mathbf{x}^*A^*A\mathbf{x} = \|A\mathbf{x}\|^2 = 0$，故 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$。但题目中 $A^\top A$ 对复矩阵不一定成立，因为 $\mathbf{x}^\top A^\top A \mathbf{x} = (A\mathbf{x})^\top (A\mathbf{x})$ 不是范数平方（复数内积需用共轭转置）。
公式：$\|A\mathbf{x}\|^2 = (A\mathbf{x})^* (A\mathbf{x})$
提示：复向量范数平方定义为 $\mathbf{v}^*\mathbf{v}$，而非 $\mathbf{v}^\top\mathbf{v}$。
步骤 6/7
目标：给出反例
取 $A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$，则 $r(A)=1$，但 $A^\top A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}^\top \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为0，因此 $r(A^\top A) \neq r(A)$。
提示：注意矩阵乘法顺序：$A^\top A$ 中 $A^\top$ 是转置，不是共轭转置。
步骤 7/7
目标：总结结论
对于实方阵，$r(A^\top A) = r(A)$ 成立；对于复方阵，$r(A^\top A) = r(A)$ 不一定成立，反例为 $A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$。
提示：区分实矩阵和复矩阵的证明差异。
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