苏州科技大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3、（15 分）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda-2 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=2\end{array}, \lambda\right.$ 为何值时，有无穷多解？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出方程组和增广矩阵
方程组为
\[
\begin{cases}
\lambda x_1 + x_2 + x_3 = \lambda - 2 \\
x_1 + \lambda x_2 + x_3 = -2 \\
x_1 + x_2 + \lambda x_3 = 2
\end{cases}
\]
系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A}$ 分别为
\[
A = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 \\
1 & 1 & \lambda
\end{pmatrix},
\quad
\bar{A} = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 1 & \lambda-2 \\
1 & \lambda & 1 & -2 \\
1 & 1 & \lambda & 2
\end{pmatrix}
\]
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要写错符号。
步骤 2/6
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 $\det(A)$：
\[
\det(A) = \begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 \\
1 & 1 & \lambda
\end{vmatrix}
= \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda)
= \lambda(\lambda^2 - 1) - 2(\lambda - 1)
= (\lambda - 1)(\lambda(\lambda+1) - 2)
= (\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda - 2)
= (\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda + 2)
= (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)
\]
公式：行列式计算公式：$\det(A) = (\lambda-1)^2(\lambda+2)$
提示：展开行列式时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：确定可能有无穷多解的λ值
根据线性方程组理论，当 $\det(A) \neq 0$ 时，方程组有唯一解。无穷多解只可能出现在 $\det(A)=0$ 时，即 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -2$。
提示：注意：$\det(A)=0$ 是可能有无穷多解的必要条件，还需检查增广矩阵的秩。
步骤 4/6
目标：检验λ=1的情况
当 $\lambda=1$ 时，增广矩阵为
\[
\bar{A} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & -2 \\
1 & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
进行行变换：$R_2 - R_1$，$R_3 - R_1$ 得
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\]
第二行对应方程 $0 = -1$，矛盾，故无解。
提示：行变换时注意常数项的变化，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：检验λ=-2的情况
当 $\lambda=-2$ 时，增广矩阵为
\[
\bar{A} = \begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1 & -4 \\
1 & -2 & 1 & -2 \\
1 & 1 & -2 & 2
\end{pmatrix}
\]
交换第1行和第3行（方便计算）：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 & 2 \\
1 & -2 & 1 & -2 \\
-2 & 1 & 1 & -4
\end{pmatrix}
\]
$R_2 - R_1$，$R_3 + 2R_1$ 得
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 & 2 \\
0 & -3 & 3 & -4 \\
0 & 3 & -3 & 0
\end{pmatrix}
\]
$R_3 + R_2$ 得
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 & 2 \\
0 & -3 & 3 & -4 \\
0 & 0 & 0 & -4
\end{pmatrix}
\]
第三行对应 $0 = -4$，矛盾，故无解。
提示：行变换时注意系数矩阵和常数项同时变换，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $\lambda=1$ 和 $\lambda=-2$ 时方程组均无解，因此不存在 $\lambda$ 使得方程组有无穷多解。
提示：注意：无穷多解要求系数矩阵和增广矩阵秩相等且小于未知数个数，这里秩不相等，故无解。
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