苏州科技大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9、（15 分）$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 为非 0 固定向量．
（1）证明：$\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0\}$ 为 $V$ 的子空间。
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=n-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证非空性
由于零向量 $0$ 满足 $(0,\alpha)=0$，所以 $0\in V_1$，故 $V_1$ 非空。
提示：注意零向量与任何向量的内积为0。
步骤 2/6
目标：验证加法封闭性
任取 $x,y\in V_1$，则 $(x,\alpha)=0$ 且 $(y,\alpha)=0$。计算 $(x+y,\alpha)=(x,\alpha)+(y,\alpha)=0+0=0$，所以 $x+y\in V_1$。
公式：$(x+y,\alpha)=(x,\alpha)+(y,\alpha)$
提示：内积的线性性：对第一个变量线性。
步骤 3/6
目标：验证数乘封闭性
任取 $k\in\mathbb{R}$ 和 $x\in V_1$，则 $(kx,\alpha)=k(x,\alpha)=k\cdot0=0$，所以 $kx\in V_1$。
公式：$(kx,\alpha)=k(x,\alpha)$
提示：内积对第一个变量的齐次性。
步骤 4/6
目标：结论：$V_1$ 是子空间
由以上三点（非空、加法封闭、数乘封闭）可知 $V_1$ 是 $V$ 的子空间。
提示：子空间判定定理：非空且对线性运算封闭。
步骤 5/6
目标：构造线性映射并求核
定义线性映射 $f:V\to\mathbb{R}$，$f(x)=(x,\alpha)$。则 $V_1=\ker f$。由于 $\alpha\neq0$，取 $x_0=\alpha$，则 $f(\alpha)=(\alpha,\alpha)=\|\alpha\|^2>0$，故 $f$ 不是零映射，$\operatorname{Im}f=\mathbb{R}$，维数为1。
公式：$f(x)=(x,\alpha)$
提示：注意 $\alpha\neq0$ 保证 $f$ 非零。
步骤 6/6
目标：应用维数定理
由维数定理：$\dim V = \dim\ker f + \dim\operatorname{Im}f$，即 $n = \dim V_1 + 1$，所以 $\dim V_1 = n-1$。
公式：$\dim V = \dim\ker f + \dim\operatorname{Im}f$
提示：维数定理适用于线性映射。
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