西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
一．（10 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是多项式
$$
f(x)=x^{3}+a x+1
$$
的全部根，求一个三次多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(x)$ 以 $\displaystyle x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}$ 为根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用韦达定理
设 $f(x)=x^3+ax+1$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$，根据韦达定理，有：
$$
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3 = 0, \\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = a, \\
x_1x_2x_3 = -1.
\end{cases}
$$
公式：韦达定理：对于三次方程 $x^3+px^2+qx+r=0$，根满足 $\sum x_i = -p$, $\sum x_i x_j = q$, $x_1x_2x_3 = -r$
提示：注意 $f(x)$ 中 $x^2$ 项系数为0，因此根之和为0。
步骤 2/6
目标：构造目标多项式
要求以 $x_1^2, x_2^2, x_3^2$ 为根的三次多项式 $g(x)$，即 $g(x) = (x - x_1^2)(x - x_2^2)(x - x_3^2)$。展开得：
$$
g(x) = x^3 - (x_1^2+x_2^2+x_3^2)x^2 + (x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2)x - x_1^2x_2^2x_3^2.
$$
公式：多项式根与系数的关系
提示：展开时注意符号：$g(x) = x^3 - S_1 x^2 + S_2 x - S_3$，其中 $S_1$ 为根之和，$S_2$ 为两两乘积之和，$S_3$ 为根之积。
步骤 3/6
目标：计算根平方和
计算 $x_1^2+x_2^2+x_3^2$：
$$
x_1^2+x_2^2+x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) = 0^2 - 2a = -2a.
$$
公式：$\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2\sum_{i
提示：注意平方和公式中减去的系数是2，不要遗漏。
步骤 4/6
目标：计算根平方的两两乘积和
计算 $x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2$：
$$
\begin{aligned}
x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2 &= (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2 - 2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3) \\
&= a^2 - 2(-1)\cdot 0 = a^2.
\end{aligned}
$$
公式：$\sum_{i
提示：注意公式中第二项是减去 $2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)$，由于 $x_1+x_2+x_3=0$，该项为0。
步骤 5/6
目标：计算根平方的乘积
计算 $x_1^2x_2^2x_3^2$：
$$
x_1^2x_2^2x_3^2 = (x_1x_2x_3)^2 = (-1)^2 = 1.
$$
公式：$(x_1x_2x_3)^2$
提示：注意平方后负号消失。
步骤 6/6
目标：写出目标多项式
将计算得到的系数代入 $g(x)$ 的表达式：
$$
g(x) = x^3 - (-2a)x^2 + a^2 x - 1 = x^3 + 2a x^2 + a^2 x - 1.
$$
提示：注意 $x^2$ 项系数为 $-S_1$，而 $S_1 = -2a$，因此 $-S_1 = 2a$。
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