📝 西北大学 2026年高等代数真题

一．（10 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是多项式

$$
f(x)=x^{3}+a x+1
$$

的全部根，求一个三次多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(x)$ 以 $\displaystyle x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}$ 为根．

七．（15 分）设 $V$ 是数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域，$\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核．证明：
（1）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right) \geq \frac{n}{2}$ ．
（2）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right)=\frac{n}{2}$ 当且仅当 $\displaystyle \sigma(V)=\sigma^{-1}(0)$ ．

三．（15 分）设 $A$ 是数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，且存在 $n$ 维非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，满足 $\displaystyle A \alpha=0$ ．证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A^{*} X=\alpha$ 有解当且仅当秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．

九．（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 为数域上的 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的 $n$ 个特征值两两不同．证明：$A$ 的特征向量都是 $B$ 的特征向量当且仅当 $\displaystyle A B=B A$ ．

二．（10 分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 1$ ，证明：$V$ 中存在一个由无穷多个向量构成的向量组，使得该向量组中任意 $n$ 个向量都是 $V$ 的一组基．

五．（ 15 分）设

$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$

证明：$\displaystyle A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ，其中 $\displaystyle n \geq 3, E$ 为单位矩阵，并求出 $\displaystyle A^{1000}$ ．

八．（15 分）设 $A$ 为实对称矩阵，$S$ 为实反称矩阵，$\displaystyle A S=S A, A$ 可逆，证明：$\displaystyle A-S$ 可逆，且

$$
(A+S)(A-S)^{-1}
$$

为正交矩阵。

六．（15分）设 $V$ 为有限维线性空间，$\displaystyle V_{1}$ 为 $V$ 的非零子空间．证明：如果有且仅有一个子空间 $\displaystyle V_{2}$ ，使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，则必有 $\displaystyle V_{1}=V$ ．

十．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 为五维欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基，

$$
W=\left\{x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\}
$$

证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，求出 $W$ 的维数与一组基，并求出 $W$ 的正交补．

四．（15 分）设 $A$ 为三阶矩阵，$X$ 为三维列向量，满足 $\displaystyle X, A X, A^{2} X$ 线性无关，以及 $\displaystyle A^{3} X=3 A X-2 A^{2} X$ ．
（1）记 $\displaystyle P=\left(X, A X, A^{2} X\right)$ ，求三阶矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=P B P^{-1}$ ．
（2）计算行列式 $\displaystyle |A+E|$ ，其中 $E$ 为单位矩阵．