西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．（ 15 分）设
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$
证明：$\displaystyle A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ，其中 $\displaystyle n \geq 3, E$ 为单位矩阵，并求出 $\displaystyle A^{1000}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算A^2和A^3
计算 $A^2$ 和 $A^3$：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：矩阵乘法要逐行逐列计算，注意顺序。
步骤 2/8
目标：验证n=3时等式成立
验证 $n=3$ 时 $A^3 = A^{1} + A^2 - E$：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意矩阵加减法是对应元素相加减。
步骤 3/8
目标：归纳假设
假设 $n=k$ 时成立，即 $A^k = A^{k-2} + A^2 - E$，其中 $k \geq 3$。
提示：归纳假设要明确。
步骤 4/8
目标：归纳递推
当 $n=k+1$ 时，
$$A^{k+1} = A \cdot A^k = A(A^{k-2} + A^2 - E) = A^{k-1} + A^3 - A.$$
提示：矩阵乘法满足结合律，但注意顺序。
步骤 5/8
目标：代入n=3时的等式
由 $n=3$ 时 $A^3 = A + A^2 - E$，代入得
$$A^{k+1} = A^{k-1} + (A + A^2 - E) - A = A^{k-1} + A^2 - E.$$
提示：注意合并同类项。
步骤 6/8
目标：归纳完成
即 $n=k+1$ 时等式成立。由数学归纳法，对一切 $n \geq 3$ 有 $A^n = A^{n-2} + A^2 - E$。
提示：归纳法步骤要完整。
步骤 7/8
目标：利用递推求A^1000
由递推式，$A^{1000} = A^{998} + A^2 - E$，反复使用递推，因为1000是偶数，最后降到 $A^2$，共 $499$ 次加 $A^2-E$：
$$A^{1000} = A^{2} + 499(A^2 - E) = 500A^2 - 499E.$$
提示：注意递推次数：从1000到2，每步减2，共(1000-2)/2=499步。
步骤 8/8
目标：计算最终结果
计算 $500A^2 - 499E$：
$$500A^2 = 500 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 500 & 0 & 0 \\ 500 & 500 & 0 \\ 500 & 0 & 500 \end{pmatrix},$$
$$499E = \begin{pmatrix} 499 & 0 & 0 \\ 0 & 499 & 0 \\ 0 & 0 & 499 \end{pmatrix},$$
所以
$$A^{1000} = \begin{pmatrix} 500-499 & 0 & 0 \\ 500-0 & 500-499 & 0 \\ 500-0 & 0 & 500-499 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 500 & 1 & 0 \\ 500 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
提示：矩阵数乘和加减法要逐元素计算。
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