西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．（15 分）设 $V$ 是数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域，$\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核．证明：
（1）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right) \geq \frac{n}{2}$ ．
（2）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right)=\frac{n}{2}$ 当且仅当 $\displaystyle \sigma(V)=\sigma^{-1}(0)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定维数并应用维数公式
设 $\dim V = n$，$r = \dim \sigma(V)$，则 $\dim \sigma^{-1}(0) = n - r$。由维数公式：
$$\dim(\sigma(V) + \sigma^{-1}(0)) = \dim \sigma(V) + \dim \sigma^{-1}(0) - \dim(\sigma(V) \cap \sigma^{-1}(0)) = r + (n - r) - d = n - d,$$ 其中 $d = \dim(\sigma(V) \cap \sigma^{-1}(0))$。
公式：$$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$$
提示：注意维数公式中交集维数的符号，不要遗漏减号。
步骤 2/5
目标：估计交集维数的上界
由于 $\sigma(V) \cap \sigma^{-1}(0) \subseteq \sigma(V)$ 且 $\subseteq \sigma^{-1}(0)$，所以 $d \leq \min(r, n-r)$。
提示：交集维数不超过每个子空间的维数，取最小值。
步骤 3/5
目标：推导和空间维数的下界
由 $\dim(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)) = n - d \geq n - \min(r, n-r)$。因为 $\min(r, n-r) \leq \frac{n}{2}$，所以 $\dim(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)) \geq n - \frac{n}{2} = \frac{n}{2}$。
公式：$$\min(r, n-r) \leq \frac{n}{2}$$
提示：注意 $r$ 和 $n-r$ 的平均值为 $n/2$，最小值不超过平均值。
步骤 4/5
目标：证明充分性：若 $\sigma(V)=\sigma^{-1}(0)$，则和空间维数为 $n/2$
若 $\sigma(V) = \sigma^{-1}(0)$，则 $r = n - r$，故 $r = n/2$。此时 $\sigma(V) \cap \sigma^{-1}(0) = \sigma(V)$，所以 $d = r = n/2$。于是 $\dim(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)) = n - d = n - n/2 = n/2$。
提示：注意相等时交集就是子空间本身。
步骤 5/5
目标：证明必要性：若和空间维数为 $n/2$，则 $\sigma(V)=\sigma^{-1}(0)$
设 $\dim(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)) = n/2$，则 $n - d = n/2$，得 $d = n/2$。由 $d \leq r$ 且 $d \leq n-r$，得 $r \geq n/2$ 且 $n-r \geq n/2$。又 $r + (n-r) = n$，所以 $r = n-r = n/2$。于是 $\dim \sigma(V) = \dim \sigma^{-1}(0) = n/2$，且 $\sigma(V) \cap \sigma^{-1}(0)$ 是它们的子空间且维数均为 $n/2$，故 $\sigma(V) \cap \sigma^{-1}(0) = \sigma(V) = \sigma^{-1}(0)$。
提示：注意利用维数相等推出子空间相等。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。