西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．（15分）设 $V$ 为有限维线性空间，$\displaystyle V_{1}$ 为 $V$ 的非零子空间．证明：如果有且仅有一个子空间 $\displaystyle V_{2}$ ，使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，则必有 $\displaystyle V_{1}=V$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设反证前提
假设 $V_1 \neq V$，则 $V_1$ 是 $V$ 的真子空间。由于 $V$ 是有限维线性空间，$V_1$ 存在补空间。设 $W$ 是 $V_1$ 的一个补空间，即 $V = V_1 \oplus W$，且 $W \neq \{0\}$。
公式：V = V_1 \oplus W
提示：注意 $W$ 非零是因为 $V_1$ 是真子空间。
步骤 2/6
目标：构造一维子空间
取非零向量 $w \in W$，令 $W' = \operatorname{span}\{w\}$，则 $W'$ 是 $W$ 的一维子空间。再取 $W''$ 为 $W$ 中 $W'$ 的补空间，即 $W = W' \oplus W''$。于是 $V = V_1 \oplus W' \oplus W''$。
公式：W = W' \oplus W''
提示：补空间的存在性依赖于有限维，且 $W''$ 可能为零。
步骤 3/6
目标：构造第一个补空间
令 $V_2 = W$，显然 $V = V_1 \oplus V_2$。
提示：这是已知的一个补空间。
步骤 4/6
目标：构造第二个补空间
取非零向量 $u \in V_1$（$V_1$ 非零，故存在），令 $V_2' = \operatorname{span}\{w + u\} \oplus W''$。由于 $w+u \notin V_1$，且 $V_1 \cap \operatorname{span}\{w+u\} = \{0\}$，易验证 $V = V_1 \oplus V_2'$。
公式：V_2' = \operatorname{span}\{w+u\} \oplus W''
提示：需验证 $V_1 \cap V_2' = \{0\}$ 且 $V_1 + V_2' = V$。
步骤 5/6
目标：验证两个补空间不同
由于 $w \in V_2$ 但 $w \notin V_2'$（因为 $V_2'$ 中元素形如 $\alpha(w+u)+w''$，若等于 $w$ 则推出 $u \in V_1 \cap \operatorname{span}\{w+u\}$ 矛盾），故 $V_2 \neq V_2'$。这与有且仅有一个子空间 $V_2$ 矛盾。
提示：注意 $w$ 不在 $V_2'$ 中的严格证明。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，必有 $V_1 = V$。
提示：反证法结束。
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