西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 为五维欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基，
$$
W=\left\{x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\}
$$
证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，求出 $W$ 的维数与一组基，并求出 $W$ 的正交补．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明W是子空间
由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关，$W$是$\mathbb{R}^4$中满足线性方程$x_1+x_2+x_3+x_4=0$的解空间，因此是子空间。
提示：注意$W$只涉及前四个基向量，但$V$是五维空间，$W$是$V$的子集。
步骤 2/6
目标：求W的维数
方程$x_1+x_2+x_3+x_4=0$的系数矩阵为$(1,1,1,1)$，秩为1，解空间维数为$4-1=3$。
公式：维数 = 变量个数 - 约束方程个数
提示：注意约束方程是线性无关的，秩等于1。
步骤 3/6
目标：求W的一组基
取自由变量$x_2,x_3,x_4$，则$x_1=-x_2-x_3-x_4$。令$(x_2,x_3,x_4)=(1,0,0)$得$\beta_1=-\alpha_1+\alpha_2$；令$(0,1,0)$得$\beta_2=-\alpha_1+\alpha_3$；令$(0,0,1)$得$\beta_3=-\alpha_1+\alpha_4$。$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性无关，构成$W$的一组基。
提示：基向量不唯一，但维数固定。注意每个基向量是前四个基向量的线性组合。
步骤 4/6
目标：确定正交补的维数
由于$V$是五维，$W$是三维，故$W^\perp$的维数为$5-3=2$。
公式：dim(W) + dim(W^⊥) = dim(V)
提示：正交补的维数由整个空间维数减去子空间维数得到。
步骤 5/6
目标：求正交补的基
设$v=y_1\alpha_1+y_2\alpha_2+y_3\alpha_3+y_4\alpha_4+y_5\alpha_5$，由$\langle v,\beta_1\rangle=0$得$-y_1+y_2=0$；由$\langle v,\beta_2\rangle=0$得$-y_1+y_3=0$；由$\langle v,\beta_3\rangle=0$得$-y_1+y_4=0$。解得$y_1=y_2=y_3=y_4$，$y_5$任意。因此$W^\perp$由$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$和$\alpha_5$张成。
公式：内积公式：$\langle \alpha_i,\alpha_j\rangle = \delta_{ij}$
提示：注意$\alpha_5$与$W$中所有向量正交，因为$W$中向量不含$\alpha_5$分量。
步骤 6/6
目标：总结答案
$W$是子空间，维数为3，一组基为$\beta_1=-\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=-\alpha_1+\alpha_3$，$\beta_3=-\alpha_1+\alpha_4$。$W$的正交补$W^\perp=\operatorname{span}\{\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4,\alpha_5\}$。
提示：正交补的基不唯一，但张成的空间唯一。
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