西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
九．（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 为数域上的 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的 $n$ 个特征值两两不同．证明：$A$ 的特征向量都是 $B$ 的特征向量当且仅当 $\displaystyle A B=B A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析条件并建立对角化基础
由于 $A$ 的 $n$ 个特征值两两不同，$A$ 可对角化。存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 互异，$P$ 的列向量是 $A$ 的特征向量。
公式：P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)
提示：注意特征值互异保证可对角化，且每个特征值对应一维特征子空间。
步骤 2/4
目标：必要性：特征向量条件推出可交换性
若 $A$ 的特征向量都是 $B$ 的特征向量，则 $P$ 的每一列也是 $B$ 的特征向量，故存在对角矩阵 $\Lambda' = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ 使得 $P^{-1}BP = \Lambda'$。计算 $P^{-1}ABP = (P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = \operatorname{diag}(\lambda_i\mu_i)$，同理 $P^{-1}BAP = \operatorname{diag}(\mu_i\lambda_i)$。由于对角矩阵乘法可交换，得 $P^{-1}ABP = P^{-1}BAP$，左乘 $P$ 右乘 $P^{-1}$ 得 $AB = BA$。
公式：P^{-1}ABP = P^{-1}BAP \Rightarrow AB = BA
提示：注意对角矩阵乘法顺序不影响结果，但需确保 $P$ 同时对角化 $A$ 和 $B$。
步骤 3/4
目标：充分性：可交换性推出特征向量条件
设 $AB = BA$。任取 $A$ 的特征向量 $\alpha$，对应特征值 $\lambda$，则 $A(B\alpha) = B(A\alpha) = \lambda (B\alpha)$，故 $B\alpha$ 也是 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量。由于特征值互异，$\lambda$ 的特征子空间是一维的，因此 $B\alpha$ 与 $\alpha$ 共线，即存在 $\mu$ 使得 $B\alpha = \mu \alpha$，故 $\alpha$ 也是 $B$ 的特征向量。
公式：A(B\alpha) = \lambda (B\alpha) \Rightarrow B\alpha \in V_\lambda
提示：关键：特征子空间一维性保证共线性，需强调特征值互异。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，$A$ 的特征向量都是 $B$ 的特征向量当且仅当 $AB = BA$。
提示：注意充分性和必要性均需证明，缺一不可。
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