西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $A$ 为三阶矩阵，$X$ 为三维列向量，满足 $\displaystyle X, A X, A^{2} X$ 线性无关，以及 $\displaystyle A^{3} X=3 A X-2 A^{2} X$ ．
（1）记 $\displaystyle P=\left(X, A X, A^{2} X\right)$ ，求三阶矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=P B P^{-1}$ ．
（2）计算行列式 $\displaystyle |A+E|$ ，其中 $E$ 为单位矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解条件并定义矩阵P
由题设，$X, AX, A^2X$ 线性无关，因此矩阵 $P = (X, AX, A^2X)$ 可逆。
提示：注意线性无关保证P可逆，这是后续相似变换的基础。
步骤 2/7
目标：计算AP并用P的列表示
计算 $AP = A(X, AX, A^2X) = (AX, A^2X, A^3X)$。利用条件 $A^3X = 3AX - 2A^2X$，得 $AP = (AX, A^2X, 3AX - 2A^2X)$。
公式：$A^3X = 3AX - 2A^2X$
提示：注意矩阵乘法顺序：A乘以P的每一列。
步骤 3/7
目标：将AP表示为P乘以某个矩阵B
设 $B$ 满足 $AP = PB$，则 $B$ 的列是 $AP$ 的列在 $P$ 的基下的坐标。第一列 $AX = P e_2$，第二列 $A^2X = P e_3$，第三列 $3AX - 2A^2X = P(3e_2 - 2e_3)$。因此 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$。
公式：$AP = PB$
提示：注意坐标表示：$P$的列是基向量，$e_i$是标准单位列向量。
步骤 4/7
目标：得到相似关系并写出B
由 $AP = PB$ 且 $P$ 可逆，得 $A = PBP^{-1}$，故 $B$ 即为所求。
公式：$A = PBP^{-1}$
提示：相似变换中，B是A在基P下的矩阵表示。
步骤 5/7
目标：利用相似性计算行列式
由于 $A$ 与 $B$ 相似，$A+E$ 与 $B+E$ 相似，故 $|A+E| = |B+E|$。计算 $B+E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：相似矩阵有相同的行列式
提示：注意：$A+E$与$B+E$相似是因为$P^{-1}(A+E)P = B+E$。
步骤 6/7
目标：计算行列式|B+E|
按第一行展开：$|B+E| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1\cdot(-1) - 3\cdot1) = -1 - 3 = -4$。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：按第一行展开时，元素1的代数余子式符号为正。
步骤 7/7
目标：给出最终答案
（1）$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$；（2）$|A+E| = -4$。
提示：检查B的第三列是否正确对应系数。
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