西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．（15 分）设 $A$ 是数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，且存在 $n$ 维非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，满足 $\displaystyle A \alpha=0$ ．证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A^{*} X=\alpha$ 有解当且仅当秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由已知条件推出A的行列式为0
已知存在非零向量 $\alpha$ 使得 $A\alpha = 0$，即 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $0$ 的特征向量，故 $\det(A)=0$，从而 $\operatorname{rank}(A) \leq n-1$。
公式：$A\alpha=0$ 且 $\alpha\neq0$ 推出 $\det(A)=0$
提示：注意：$\det(A)=0$ 是 $A$ 不可逆的充要条件，但秩可能小于 $n-1$。
步骤 2/7
目标：必要性：假设 $A^*X=\alpha$ 有解，推出 $A^*\neq0$
若 $A^*X = \alpha$ 有解，则 $\alpha$ 属于 $A^*$ 的列空间。由于 $\alpha \neq 0$，故 $A^* \neq 0$。
提示：注意：$A^*=0$ 时，$A^*X=0$ 只有零解，不可能等于非零向量 $\alpha$。
步骤 3/7
目标：利用伴随矩阵的秩的性质，由 $A^*\neq0$ 推出 $\operatorname{rank}(A)\geq n-1$
由伴随矩阵的秩的性质：$\operatorname{rank}(A^*) = n$ 当且仅当 $\operatorname{rank}(A)=n$；$\operatorname{rank}(A^*) = 1$ 当且仅当 $\operatorname{rank}(A)=n-1$；$\operatorname{rank}(A^*) = 0$ 当且仅当 $\operatorname{rank}(A) \leq n-2$。因为 $A^* \neq 0$，所以 $\operatorname{rank}(A^*) \geq 1$，从而 $\operatorname{rank}(A) \geq n-1$。
公式：$\operatorname{rank}(A^*) = \begin{cases} n, & \operatorname{rank}(A)=n \\ 1, & \operatorname{rank}(A)=n-1 \\ 0, & \operatorname{rank}(A) \leq n-2 \end{cases}$
提示：注意：当 $\operatorname{rank}(A)=n-1$ 时，$A^*$ 的秩为1，且 $A^*$ 的列向量都是 $Ax=0$ 的解。
步骤 4/7
目标：结合 $\det(A)=0$ 得到 $\operatorname{rank}(A)=n-1$
由第一步知 $\operatorname{rank}(A) \leq n-1$，由第三步知 $\operatorname{rank}(A) \geq n-1$，故 $\operatorname{rank}(A)=n-1$。必要性得证。
提示：注意：这里用到了夹逼原理。
步骤 5/7
目标：充分性：假设 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，推出 $\operatorname{rank}(A^*)=1$
若 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，则 $\operatorname{rank}(A^*)=1$。由 $A\alpha=0$ 知 $\alpha$ 是 $Ax=0$ 的非零解，而 $Ax=0$ 的解空间维数为 $1$，故其基础解系仅含一个向量，可取为 $\alpha$。
提示：注意：$\operatorname{rank}(A)=n-1$ 时，$Ax=0$ 的解空间维数为1。
步骤 6/7
目标：利用 $AA^*=0$ 推出 $A^*$ 的列向量与 $\alpha$ 共线
由 $AA^* = A^*A = \det(A)I = 0$，知 $A^*$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解，从而 $A^*$ 的列向量均与 $\alpha$ 共线，即存在 $n$ 维行向量 $\beta^T$ 使得 $A^* = \alpha \beta^T$。由于 $\operatorname{rank}(A^*)=1$，故 $\beta \neq 0$。
公式：$AA^* = \det(A)I = 0$
提示：注意：$\alpha$ 是列向量，$\beta^T$ 是行向量，乘积 $\alpha\beta^T$ 是秩1矩阵。
步骤 7/7
目标：证明 $A^*X=\alpha$ 有解
于是 $A^*X = \alpha \beta^T X = (\beta^T X)\alpha$。要使得 $A^*X = \alpha$ 有解，只需存在 $X$ 满足 $\beta^T X = 1$，这总是可能的（因为 $\beta \neq 0$，取 $X$ 为 $\beta$ 的某个广义逆即可）。因此 $A^*X = \alpha$ 有解。充分性得证。
公式：$A^*X = (\beta^T X)\alpha$
提示：注意：$\beta^T X=1$ 是一个线性方程，由于 $\beta\neq0$，解空间是 $n-1$ 维仿射空间，总有解。
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