西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $A$ 为实对称矩阵，$S$ 为实反称矩阵，$\displaystyle A S=S A, A$ 可逆，证明：$\displaystyle A-S$ 可逆，且
$$
(A+S)(A-S)^{-1}
$$
为正交矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 A-S 可逆：利用乘积可逆性
计算 $(A+S)(A-S) = A^2 - AS + SA - S^2$。由于 $AS=SA$，得 $(A+S)(A-S)=A^2-S^2$。同理 $(A-S)(A+S)=A^2-S^2$。因此 $(A+S)(A-S)=(A-S)(A+S)=A^2-S^2$。
公式：(A+S)(A-S)=A^2-S^2
提示：注意矩阵乘法不交换，但这里利用了条件 AS=SA。
步骤 2/5
目标：证明 A^2-S^2 可逆
假设存在非零向量 $x$ 使得 $(A^2-S^2)x=0$，则 $A^2x=S^2x$。考虑内积：$(x, A^2x)=(Ax,Ax)=\|Ax\|^2$，而 $(x, S^2x)=(Sx, S^Tx)=-(Sx,Sx)=-\|Sx\|^2$（因为 $S^T=-S$）。于是 $\|Ax\|^2=-\|Sx\|^2$，推出 $\|Ax\|=\|Sx\|=0$，故 $Ax=0$ 且 $Sx=0$。由 $A$ 可逆得 $x=0$，矛盾。所以 $A^2-S^2$ 可逆。
公式：A^2x=S^2x \Rightarrow \|Ax\|^2=-\|Sx\|^2
提示：利用内积性质时，注意 S 是反称矩阵，S^T=-S。
步骤 3/5
目标：推出 A-S 可逆
由 $(A+S)(A-S)=A^2-S^2$ 可逆，可知 $A+S$ 与 $A-S$ 均可逆（因为若 $A-S$ 不可逆，则存在非零 $x$ 使 $(A-S)x=0$，代入得 $(A^2-S^2)x=0$，矛盾）。因此 $A-S$ 可逆。
提示：矩阵乘积可逆则每个因子可逆，但需注意这里乘积是方阵。
步骤 4/5
目标：计算 Q 的转置
设 $Q=(A+S)(A-S)^{-1}$，则 $Q^T = [(A+S)(A-S)^{-1}]^T = ((A-S)^{-1})^T (A+S)^T$。由于 $A^T=A$，$S^T=-S$，得 $(A-S)^T = A^T - S^T = A + S$，所以 $((A-S)^{-1})^T = (A+S)^{-1}$。而 $(A+S)^T = A^T + S^T = A - S$。因此 $Q^T = (A+S)^{-1}(A-S)$。
公式：Q^T = (A+S)^{-1}(A-S)
提示：注意转置的逆等于逆的转置，且 (A-S)^T = A+S。
步骤 5/5
目标：证明 Q 是正交矩阵
计算 $Q^T Q = (A+S)^{-1}(A-S)(A+S)(A-S)^{-1}$。由于 $(A-S)(A+S) = (A+S)(A-S)$（由第一步），所以 $(A-S)(A+S) = (A+S)(A-S)$，从而 $(A-S) = (A+S)(A-S)(A+S)^{-1}$。代入得 $Q^T Q = (A+S)^{-1}(A+S)(A-S)(A+S)^{-1}(A+S)(A-S)^{-1} = (A-S)(A+S)^{-1}(A+S)(A-S)^{-1} = (A-S)(A-S)^{-1} = I$。因此 $Q^T Q = I$，即 $Q$ 为正交矩阵。
公式：Q^T Q = I
提示：注意交换性的使用：A-S 与 A+S 可交换。
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