西北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．（10 分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 1$ ，证明：$V$ 中存在一个由无穷多个向量构成的向量组，使得该向量组中任意 $n$ 个向量都是 $V$ 的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造无穷向量组
取定 $V$ 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$。构造向量组 $\beta_k = \alpha_1 + k \alpha_2 + k^2 \alpha_3 + \cdots + k^{n-1} \alpha_n$，其中 $k = 1, 2, 3, \dots$。这是一个无穷向量组。
公式：$$\beta_k = \sum_{i=1}^n k^{i-1} \alpha_i$$
提示：注意 $k$ 取所有正整数，确保无穷性。基的选取是任意的，但需固定。
步骤 2/7
目标：任取 $n$ 个不同向量
任取 $n$ 个不同的正整数 $k_1, k_2, \dots, k_n$，考虑向量 $\beta_{k_1}, \beta_{k_2}, \dots, \beta_{k_n}$。要证明它们构成 $V$ 的一组基，只需证明它们线性无关。
提示：注意 $k_i$ 互不相同，这是后续范德蒙德行列式非零的关键。
步骤 3/7
目标：写出向量在基下的坐标
将每个 $\beta_{k_i}$ 在基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 下的坐标写出：$\beta_{k_i} = (1, k_i, k_i^2, \dots, k_i^{n-1})^T$。
公式：$$\beta_{k_i} = \begin{pmatrix} 1 \\ k_i \\ k_i^2 \\ \vdots \\ k_i^{n-1} \end{pmatrix}$$
提示：坐标表示依赖于基的选取，但线性无关性与基无关。
步骤 4/7
目标：构造矩阵并计算行列式
以这些坐标为列向量构成矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ k_1 & k_2 & \cdots & k_n \\ k_1^2 & k_2^2 & \cdots & k_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_1^{n-1} & k_2^{n-1} & \cdots & k_n^{n-1} \end{pmatrix}$$
这是一个范德蒙德矩阵，其行列式为 $\det(A) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (k_j - k_i)$。
公式：$$\det(A) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (k_j - k_i)$$
提示：范德蒙德行列式的计算要小心符号，此处乘积为正。
步骤 5/7
目标：判断行列式非零
由于 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 互不相同，所以 $k_j - k_i \neq 0$ 对所有 $i
提示：互异性是行列式非零的充要条件。
步骤 6/7
目标：得出线性无关并构成基
因为 $\det(A) \neq 0$，所以 $\beta_{k_1}, \dots, \beta_{k_n}$ 线性无关。而 $V$ 是 $n$ 维的，所以这 $n$ 个向量构成 $V$ 的一组基。
提示：线性无关且个数等于维数，则构成基。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，向量组 $\{\beta_k\}_{k=1}^\infty$ 满足：任意 $n$ 个向量都是 $V$ 的一组基。命题得证。
提示：注意向量组是无穷的，但任意 $n$ 个都构成基。
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