西北工业大学 2026年高等代数第0题

一．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), T=\left(\begin{array}{cccc} t & t & \cdots & t \\ t & t & \cdots & t \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ t & t & \cdots & t \end{array}\right) . $$ （1）证明：$\displaystyle |A+T|=|A|+t u$ ，其中 $\displaystyle u=\sum_{i, j=1}^{n} A_{i j}$ 为 $\displaystyle |A|$ 的所有元素的代数余子式之和． （2）利用（1）的结论计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}a & b & b & \cdots & b \\ c & a & b & \cdots & b \\ c & c & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c & c & c & \cdots & a\end{array}\right|$ ．