📝 西北工业大学 2026年高等代数真题
第0题
一．（15 分）设 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), T=\left(\begin{array}{cccc}
t & t & \cdots & t \\
t & t & \cdots & t \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t & t & \cdots & t
\end{array}\right) .
$$
（1）证明：$\displaystyle |A+T|=|A|+t u$ ，其中 $\displaystyle u=\sum_{i, j=1}^{n} A_{i j}$ 为 $\displaystyle |A|$ 的所有元素的代数余子式之和．
（2）利用（1）的结论计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}a & b & b & \cdots & b \\ c & a & b & \cdots & b \\ c & c & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c & c & c & \cdots & a\end{array}\right|$ ．
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), T=\left(\begin{array}{cccc}
t & t & \cdots & t \\
t & t & \cdots & t \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t & t & \cdots & t
\end{array}\right) .
$$
（1）证明：$\displaystyle |A+T|=|A|+t u$ ，其中 $\displaystyle u=\sum_{i, j=1}^{n} A_{i j}$ 为 $\displaystyle |A|$ 的所有元素的代数余子式之和．
（2）利用（1）的结论计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}a & b & b & \cdots & b \\ c & a & b & \cdots & b \\ c & c & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c & c & c & \cdots & a\end{array}\right|$ ．
第0题
七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为
$$
\mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x)
$$
（1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ．
（2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式．
（3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．
$$
\mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x)
$$
（1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ．
（2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式．
（3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．
第0题
三．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ．
（1）证明：$\displaystyle r\left(E_{m}+A B\right)-r\left(E_{n}+B A\right)=m-n$ ．
（2）证明：当 $\displaystyle E_{m}+A B$ 可逆时，$\displaystyle E_{n}+B A$ 也可逆，并写出其逆矩阵．
（1）证明：$\displaystyle r\left(E_{m}+A B\right)-r\left(E_{n}+B A\right)=m-n$ ．
（2）证明：当 $\displaystyle E_{m}+A B$ 可逆时，$\displaystyle E_{n}+B A$ 也可逆，并写出其逆矩阵．
第0题
九．（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 和 $\displaystyle y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组．证明：存在正交变换 $\displaystyle \varphi$ 使得 $\displaystyle \varphi\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=1,2, \cdots, k)$ 的充要条件是 $\displaystyle \left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)(i, j=1,2, \cdots, k)$ ．
第0题
二．（20分）设数域 $F$ 上 $n$ 阶上三角矩阵集合为 $\displaystyle S=\left\{A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(F) \mid a_{i j}=0\right.$ 当 $\displaystyle \left.i>j\right\}$ ．其中 $\displaystyle M_{n}(F)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间．求证：
（1）$S$ 对矩阵加法和数乘封闭，因此是 $\displaystyle M_{n}(F)$ 的一个线性子空间．
（2）$S$ 对矩阵乘法封闭，即若 $\displaystyle A, B \in S$ ，则 $\displaystyle A B \in S$ ．
（3）若 $\displaystyle A \in S$ 可逆，则 $\displaystyle A^{-1} \in S$ ．
（4）若 $\displaystyle A \in S$ 为严格上三角阵（即主对角线全为 0 ），则 $\displaystyle A^{n}=O$ ．
（1）$S$ 对矩阵加法和数乘封闭，因此是 $\displaystyle M_{n}(F)$ 的一个线性子空间．
（2）$S$ 对矩阵乘法封闭，即若 $\displaystyle A, B \in S$ ，则 $\displaystyle A B \in S$ ．
（3）若 $\displaystyle A \in S$ 可逆，则 $\displaystyle A^{-1} \in S$ ．
（4）若 $\displaystyle A \in S$ 为严格上三角阵（即主对角线全为 0 ），则 $\displaystyle A^{n}=O$ ．
第0题
五．（15 分）设 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & & & \\
& 0 & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & 0 & 1 \\
1 & & & & 0
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccccc}
c_{0} & c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & c_{1} & \ddots & \vdots \\
\vdots & c_{n-1} & c_{0} & \ddots & c_{2} \\
c_{2} & \ddots & \ddots & \ddots & c_{1} \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）用 $E$ 及 $A$ 的幂表示循环矩阵 $C$ ．
（2）求 $\displaystyle A, C$ 的特征值及 $C$ 的行列式．
（3）证明：$C$ 相似于对角阵．
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & & & \\
& 0 & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & 0 & 1 \\
1 & & & & 0
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccccc}
c_{0} & c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & c_{1} & \ddots & \vdots \\
\vdots & c_{n-1} & c_{0} & \ddots & c_{2} \\
c_{2} & \ddots & \ddots & \ddots & c_{1} \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）用 $E$ 及 $A$ 的幂表示循环矩阵 $C$ ．
（2）求 $\displaystyle A, C$ 的特征值及 $C$ 的行列式．
（3）证明：$C$ 相似于对角阵．
第0题
八．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a, b), B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (c, d), a, b, c, d>0$ ．证明：
（1）$\displaystyle A+B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a+c, b+d)$ ．
（2）$\displaystyle A B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a c, b d)$ ．
（1）$\displaystyle A+B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a+c, b+d)$ ．
（2）$\displaystyle A B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a c, b d)$ ．
第0题
六．（15分）设线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 在标准基下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 化为标准形．
（2）设 $\displaystyle S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 定义为 $\displaystyle S(X)=\mathscr{A}^{2} X-2 \mathscr{A} X+2 X$ ，求 $S$ 的特征值，像空间维数与零空间维数．
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 化为标准形．
（2）设 $\displaystyle S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 定义为 $\displaystyle S(X)=\mathscr{A}^{2} X-2 \mathscr{A} X+2 X$ ，求 $S$ 的特征值，像空间维数与零空间维数．
第0题
十．（10 分）设 $f$ 是 $n$ 阶方阵全体构成的集合到数集上的映射，满足对任意的 $n$ 阶方阵 $A$ ，对任意的 $\displaystyle 1 \leq j \leq n$ ，对任意的常数 $c$ ，有
（1）若 $A$ 的第 $j$ 列等于 $B$ 和 $C$ 的第 $j$ 列之和，且 $A$ 的其余列与 $\displaystyle B, C$ 的对应列完全相同，则
$$
f(A)=f(B)+f(C)
$$
（2）将 $A$ 的第 $j$ 列乘以 $c$ 得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=c f(A)$ ．
（3）对换 $A$ 的任意两列得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=-f(A)$ ．
（4）$\displaystyle f\left(E_{n}\right)=1$ ．
证明：
（1）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，则
$$
f(A)=\sum_{\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right) \in S_{n}} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \cdots a_{i_{n} n} f\left(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}\right) .
$$
其中 $\displaystyle S_{n}$ 是 $\displaystyle 1,2, \cdots, n$ 的全排列，$\displaystyle e_{i 1}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}$ 分别表示第 $\displaystyle i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ 个元素为 1 其余元素为 0 的单位列向量．
（2）$\displaystyle f(A)=|A|$ ，即 $\displaystyle f(A)$ 表示 $A$ 的行列式．
（1）若 $A$ 的第 $j$ 列等于 $B$ 和 $C$ 的第 $j$ 列之和，且 $A$ 的其余列与 $\displaystyle B, C$ 的对应列完全相同，则
$$
f(A)=f(B)+f(C)
$$
（2）将 $A$ 的第 $j$ 列乘以 $c$ 得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=c f(A)$ ．
（3）对换 $A$ 的任意两列得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=-f(A)$ ．
（4）$\displaystyle f\left(E_{n}\right)=1$ ．
证明：
（1）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，则
$$
f(A)=\sum_{\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right) \in S_{n}} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \cdots a_{i_{n} n} f\left(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}\right) .
$$
其中 $\displaystyle S_{n}$ 是 $\displaystyle 1,2, \cdots, n$ 的全排列，$\displaystyle e_{i 1}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}$ 分别表示第 $\displaystyle i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ 个元素为 1 其余元素为 0 的单位列向量．
（2）$\displaystyle f(A)=|A|$ ，即 $\displaystyle f(A)$ 表示 $A$ 的行列式．
第0题
四．（15 分）设 $V$ 是复数域上以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为基底的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，且
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{1}(i=1,2,3) \\
\mathscr{A}\left(\alpha_{4}\right)=\alpha_{2}
\end{array}\right.
$$
求 $\displaystyle R(\mathscr{A}), N(\mathscr{A}), R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ ，其中 $\displaystyle R(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域，$\displaystyle N(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核。
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{1}(i=1,2,3) \\
\mathscr{A}\left(\alpha_{4}\right)=\alpha_{2}
\end{array}\right.
$$
求 $\displaystyle R(\mathscr{A}), N(\mathscr{A}), R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ ，其中 $\displaystyle R(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域，$\displaystyle N(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核。