西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为
$$
\mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x)
$$
（1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ．
（2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式．
（3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算线性变换在基底上的作用
基底为 $1, x, x^2, \dots, x^m$。对每个 $j=0,1,\dots,m$，计算 $\mathscr{A}(x^j) = (x+1)^j - x^j$。利用二项式定理展开：$(x+1)^j = \sum_{i=0}^j \binom{j}{i} x^i$，所以 $\mathscr{A}(x^j) = \sum_{i=0}^{j-1} \binom{j}{i} x^i$。特别地，$\mathscr{A}(1)=0$，$\mathscr{A}(x)=1$，$\mathscr{A}(x^2)=2x+1$。
公式：$(x+1)^j - x^j = \sum_{i=0}^{j-1} \binom{j}{i} x^i$
提示：注意 $\mathscr{A}(1)=0$，不要遗漏常数项。
步骤 2/7
目标：写出变换矩阵 A
将 $\mathscr{A}(x^j)$ 在基底 $1, x, \dots, x^m$ 下的坐标作为矩阵的第 $j+1$ 列（列索引从1开始）。对于 $j\ge 1$，坐标向量为 $(1, \binom{j}{1}, \binom{j}{2}, \dots, \binom{j}{j-1}, 0, \dots, 0)^T$；$j=0$ 时为零向量。因此矩阵 $A$ 是 $(m+1)\times(m+1)$ 严格上三角矩阵：
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
0 & 0 & 2 & 3 & \dots & \binom{m}{1} \\
0 & 0 & 0 & 3 & \dots & \binom{m}{2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \binom{m}{m-1} \\
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
提示：注意列对应 $x^j$，行对应 $x^i$，且 $i
步骤 3/7
目标：确定特征值和幂零性
矩阵 $A$ 是严格上三角矩阵，所有对角元为0，因此特征值全为0。$A$ 是幂零矩阵。计算幂零指数：考虑 $\mathscr{A}^m(x^m)$，由于每次作用降低次数1，$\mathscr{A}^m(x^m)=m!$（非零常数），而 $\mathscr{A}^{m+1}(x^m)=0$，且对任意多项式 $f$，$\mathscr{A}^{m+1}(f)=0$，所以幂零指数为 $m+1$。
公式：$\mathscr{A}^{m+1}=0$，$\mathscr{A}^m \neq 0$
提示：幂零指数等于最大 Jordan 块的大小。
步骤 4/7
目标：求 Jordan 标准形
由于特征值全为0，且幂零指数为 $m+1$，说明 Jordan 标准形只有一个 Jordan 块，大小为 $m+1$。因此 Jordan 标准形为：
$$J = J_{m+1}(0) = \begin{pmatrix}
0 & 1 & & \\
& 0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & 0
\end{pmatrix}_{(m+1)\times(m+1)}$$
提示：Jordan 块的大小由幂零指数决定，不要误以为有多个块。
步骤 5/7
目标：求最小多项式
由于 $A$ 是幂零矩阵，且幂零指数为 $m+1$，所以最小多项式为 $\lambda^{m+1}$。因为 $A^{m+1}=0$ 而 $A^m \neq 0$，所以最小多项式次数为 $m+1$。
公式：$m_A(\lambda) = \lambda^{m+1}$
提示：最小多项式与特征多项式不同，这里特征多项式为 $\lambda^{m+1}$，最小多项式也是 $\lambda^{m+1}$。
步骤 6/7
目标：分析 $\mathscr{A}^k$ 的核空间维数
$\mathscr{A}^k$ 的核空间由所有满足 $\mathscr{A}^k(f)=0$ 的多项式 $f$ 组成。由于 $\mathscr{A}$ 降低多项式次数（除非 $f$ 是常数），且 $\mathscr{A}^k$ 将次数 $j$ 的多项式映射为次数 $j-k$ 的多项式（当 $j\ge k$）或零（当 $j m+1$ 时，$\mathscr{A}^k=0$，核为整个空间，维数为 $m+1$。所以 $\dim N(\mathscr{A}^k) = \min(k, m+1)$。
公式：$\dim N(\mathscr{A}^k) = \min(k, m+1)$
提示：注意 $k$ 可能大于 $m+1$，此时 $\mathscr{A}^k$ 为零变换。
步骤 7/7
目标：给出 $\mathscr{A}^k$ 核空间的一组基
当 $k \le m+1$ 时，核空间由次数小于 $k$ 的多项式组成，一组基为 $1, x, x^2, \dots, x^{k-1}$。当 $k > m+1$ 时，核为整个空间，基为 $1, x, \dots, x^m$。可以统一表示为 $1, x, \dots, x^{\min(k, m+1)-1}$。
提示：验证 $\mathscr{A}^k(x^{k-1})=0$ 但 $\mathscr{A}^k(x^k)=k! \neq 0$，确保基正确。
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