西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．（15分）设线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 在标准基下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 化为标准形．
（2）设 $\displaystyle S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 定义为 $\displaystyle S(X)=\mathscr{A}^{2} X-2 \mathscr{A} X+2 X$ ，求 $S$ 的特征值，像空间维数与零空间维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型表达式
给定矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，二次型 $f(X)=X^{\mathrm{T}}AX$ 展开得 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_3$。
公式：$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_3$
提示：注意交叉项系数 $a_{13}=a_{31}=-1$，展开时系数为 $2a_{13}=-2$。
步骤 2/8
目标：配方法化标准形
将 $f$ 配方：$f = x_1^2-2x_1x_3+x_3^2+x_2^2 = (x_1-x_3)^2+x_2^2$。令 $y_1=x_1-x_3$, $y_2=x_2$, $y_3=x_3$，则标准形为 $y_1^2+y_2^2$。
公式：$f = (x_1-x_3)^2+x_2^2$
提示：配方法中注意 $x_2$ 项已单独成平方，无需处理。
步骤 3/8
目标：正交变换法化标准形（可选）
计算 $A$ 的特征多项式 $\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)$，特征值为 $0,1,2$。对应特征向量：$\lambda=0$ 时 $(1,0,1)^{\mathrm{T}}$；$\lambda=1$ 时 $(0,1,0)^{\mathrm{T}}$；$\lambda=2$ 时 $(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$。正交单位化得正交矩阵 $Q$，则 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\operatorname{diag}(0,1,2)$，标准形为 $0\cdot y_1^2+1\cdot y_2^2+2\cdot y_3^2$。
公式：$\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)$
提示：特征向量已正交，只需单位化；注意特征值 $0$ 对应平方项系数为 $0$。
步骤 4/8
目标：写出二次型标准形结果
两种方法得到标准形：配方法得 $y_1^2+y_2^2$，正交变换法得 $0\cdot y_1^2+y_2^2+2y_3^2$。通常采用配方法结果。
提示：标准形不唯一，但惯性指数相同。
步骤 5/8
目标：计算 $A^2$
计算 $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
提示：矩阵乘法注意对应位置元素计算。
步骤 6/8
目标：计算 $S$ 的矩阵 $B$
$S(X)=\mathscr{A}^2 X-2\mathscr{A} X+2X$ 对应矩阵 $B=A^2-2A+2I$。代入计算：$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} +2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：$B = A^2-2A+2I$
提示：注意矩阵加减法对应元素相加减。
步骤 7/8
目标：求 $S$ 的特征值
$B$ 是对角矩阵 $\operatorname{diag}(2,1,2)$，特征值为 $\lambda_1=2$（代数重数2），$\lambda_2=1$（代数重数1）。
提示：对角矩阵的特征值即对角线元素。
步骤 8/8
目标：求像空间与零空间维数
$B$ 满秩，$\operatorname{rank}(B)=3$，故像空间维数 $\dim\operatorname{Im}(S)=3$；零空间维数 $\dim\ker(S)=3-\operatorname{rank}(B)=0$。
公式：$\dim\ker(S)=3-\operatorname{rank}(B)$
提示：零空间维数即特征值 $0$ 的几何重数，此处无零特征值。
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