西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．（20分）设数域 $F$ 上 $n$ 阶上三角矩阵集合为 $\displaystyle S=\left\{A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(F) \mid a_{i j}=0\right.$ 当 $\displaystyle \left.i>j\right\}$ ．其中 $\displaystyle M_{n}(F)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间．求证：
（1）$S$ 对矩阵加法和数乘封闭，因此是 $\displaystyle M_{n}(F)$ 的一个线性子空间．
（2）$S$ 对矩阵乘法封闭，即若 $\displaystyle A, B \in S$ ，则 $\displaystyle A B \in S$ ．
（3）若 $\displaystyle A \in S$ 可逆，则 $\displaystyle A^{-1} \in S$ ．
（4）若 $\displaystyle A \in S$ 为严格上三角阵（即主对角线全为 0 ），则 $\displaystyle A^{n}=O$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明S是线性子空间
首先，$S$ 非空，因为零矩阵属于 $S$。对任意 $A=(a_{ij}), B=(b_{ij}) \in S$ 和任意 $k \in F$，有：
- 加法封闭：$A+B$ 的第 $(i,j)$ 元为 $a_{ij}+b_{ij}$，当 $i>j$ 时 $a_{ij}=b_{ij}=0$，故 $a_{ij}+b_{ij}=0$，所以 $A+B \in S$。
- 数乘封闭：$kA$ 的第 $(i,j)$ 元为 $k a_{ij}$，当 $i>j$ 时 $a_{ij}=0$，故 $k a_{ij}=0$，所以 $kA \in S$。
因此 $S$ 是 $M_n(F)$ 的线性子空间。
提示：注意验证非空性，以及加法和数乘封闭性需分别验证。
步骤 2/4
目标：证明S对乘法封闭
设 $A=(a_{ij}), B=(b_{ij}) \in S$，则 $AB$ 的第 $(i,j)$ 元为 $c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。当 $i>j$ 时，考虑 $a_{ik}$ 非零的必要条件是 $i \leq k$（因为 $A$ 上三角），而 $b_{kj}$ 非零的必要条件是 $k \leq j$。但 $i>j$，所以 $i \leq k$ 且 $k \leq j$ 不可能同时成立，故每一项 $a_{ik}b_{kj}=0$，从而 $c_{ij}=0$。因此 $AB \in S$。
提示：注意上三角矩阵乘法的性质：乘积的 $(i,j)$ 元只依赖于 $i$ 行和 $j$ 列，且当 $i>j$ 时，路径 $i \to k \to j$ 不可能同时满足 $i \leq k$ 和 $k \leq j$。
步骤 3/4
目标：证明可逆上三角矩阵的逆也是上三角
设 $A \in S$ 可逆，则 $A$ 的主对角元均非零（否则行列式为0）。对 $A^{-1}$ 用归纳法证明其也是上三角。
记 $A=(a_{ij})$，$A^{-1}=(x_{ij})$。由 $AA^{-1}=I$，有 $\sum_{k=i}^n a_{ik}x_{kj}=\delta_{ij}$（因为 $a_{ik}=0$ 当 $i>k$）。
对 $i$ 从 $n$ 到 $1$ 归纳：当 $i=n$ 时，$a_{nn}x_{nj}=\delta_{nj}$，故 $x_{nj}=0$ 对 $ji$ 时 $x_{kj}=0$（因为 $k\ge i+1$ 且 $j
提示：归纳法从最后一行开始，注意利用 $A$ 可逆推出对角元非零。
步骤 4/4
目标：证明严格上三角矩阵的幂为零
设 $A$ 为严格上三角，即 $a_{ij}=0$ 当 $i\ge j$。考虑 $A^k$ 的 $(i,j)$ 元，可以证明：若 $j-i
提示：注意严格上三角矩阵的对角线及以下全为零，因此每次乘法都会使非零元向右上方移动，最多 $n$ 次后全为零。
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