西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
九．（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 和 $\displaystyle y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组．证明：存在正交变换 $\displaystyle \varphi$ 使得 $\displaystyle \varphi\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=1,2, \cdots, k)$ 的充要条件是 $\displaystyle \left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)(i, j=1,2, \cdots, k)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性证明
若存在正交变换 $\varphi$ 使得 $\varphi(x_i)=y_i$，则由于正交变换保持内积，有 $(y_i, y_j) = (\varphi(x_i), \varphi(x_j)) = (x_i, x_j)$ 对所有 $i,j=1,\dots,k$ 成立。
公式：$(\varphi(u), \varphi(v)) = (u,v)$
提示：注意正交变换的定义：保持内积的线性变换。
步骤 2/6
目标：充分性假设与线性映射定义
设 $(x_i, x_j) = (y_i, y_j)$ 对所有 $i,j$ 成立。令 $U = \operatorname{span}\{x_1,\dots,x_k\}$，$W = \operatorname{span}\{y_1,\dots,y_k\}$。定义线性映射 $\psi: U \to W$ 为 $\psi(x_i)=y_i$，并线性扩张。由于 $\{x_i\}$ 线性无关，$\psi$ 是良定义的线性同构。
提示：线性扩张需要验证良定义性：由于 $\{x_i\}$ 是基，每个 $u \in U$ 有唯一表示，所以 $\psi$ 定义合理。
步骤 3/6
目标：证明ψ是等距同构
对任意 $u = \sum a_i x_i \in U$，有 $\|\psi(u)\|^2 = \sum_{i,j} a_i a_j (y_i,y_j) = \sum_{i,j} a_i a_j (x_i,x_j) = \|u\|^2$，故 $\psi$ 保持范数。由极化恒等式，$\psi$ 保持内积，即 $(\psi(u), \psi(v)) = (u,v)$ 对所有 $u,v \in U$ 成立。
公式：$\|\psi(u)\|^2 = \|u\|^2$
提示：极化恒等式：$(u,v)=\frac{1}{4}(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2)$，由范数相等推出内积相等。
步骤 4/6
目标：扩张到整个空间
取 $U$ 的正交补 $U^\perp$ 和 $W$ 的正交补 $W^\perp$，则 $\dim U^\perp = \dim W^\perp = n - k$。任取 $U^\perp$ 的一组标准正交基 $\{e_{k+1},\dots,e_n\}$ 和 $W^\perp$ 的一组标准正交基 $\{f_{k+1},\dots,f_n\}$。
提示：注意 $U^\perp$ 和 $W^\perp$ 的维数相等，因为 $\dim U = \dim W = k$。
步骤 5/6
目标：定义正交变换φ
定义线性变换 $\varphi: V \to V$ 如下：在 $U$ 上，$\varphi(u) = \psi(u)$；在 $U^\perp$ 上，$\varphi(e_j) = f_j$，$j=k+1,\dots,n$。则 $\varphi$ 是线性同构，且保持内积（因为它在 $U$ 和 $U^\perp$ 上分别保持内积，且 $U \perp U^\perp$，$W \perp W^\perp$）。因此 $\varphi$ 是正交变换，且满足 $\varphi(x_i)=y_i$。
提示：验证保持内积：对 $u+u^\perp$ 和 $v+v^\perp$，利用正交分解和内积的线性性。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
综上，存在正交变换 $\varphi$ 使得 $\varphi(x_i)=y_i$ 当且仅当 $(x_i,x_j)=(y_i,y_j)$ 对所有 $i,j$ 成立。
提示：注意条件中 $i,j$ 取遍 $1,\dots,k$，包括 $i=j$ 的情况，即向量长度相等。
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