西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ．
（1）证明：$\displaystyle r\left(E_{m}+A B\right)-r\left(E_{n}+B A\right)=m-n$ ．
（2）证明：当 $\displaystyle E_{m}+A B$ 可逆时，$\displaystyle E_{n}+B A$ 也可逆，并写出其逆矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造分块矩阵
构造分块矩阵 $\begin{pmatrix} E_m & A \\ -B & E_n \end{pmatrix}$，其中 $E_m$ 和 $E_n$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶单位矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度：左上角 $E_m$ 是 $m \times m$，右上角 $A$ 是 $m \times n$，左下角 $-B$ 是 $n \times m$，右下角 $E_n$ 是 $n \times n$。
步骤 2/7
目标：进行行初等变换
对分块矩阵进行行初等变换：将第一行的 $B$ 倍加到第二行，即 $R_2 + B R_1$，得到 $\begin{pmatrix} E_m & A \\ 0 & E_n + BA \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} E_m & A \\ -B & E_n \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 + B R_1} \begin{pmatrix} E_m & A \\ 0 & E_n + BA \end{pmatrix}$
提示：注意行变换时，$B$ 左乘第一行，因为 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，第一行是 $m \times (m+n)$，乘积有意义。
步骤 3/7
目标：进行列初等变换
对原分块矩阵进行列初等变换：将第二列的 $A$ 倍加到第一列，即 $C_1 - A C_2$，得到 $\begin{pmatrix} E_m + AB & 0 \\ -B & E_n \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} E_m & A \\ -B & E_n \end{pmatrix} \xrightarrow{C_1 - A C_2} \begin{pmatrix} E_m + AB & 0 \\ -B & E_n \end{pmatrix}$
提示：注意列变换时，$A$ 右乘第二列，因为第二列是 $(m+n) \times n$，$A$ 是 $m \times n$，但这里 $A$ 实际上左乘？实际上，列变换是右乘初等矩阵，这里 $C_1 - A C_2$ 表示第一列减去第二列右乘 $A$，但 $A$ 是 $m \times n$，而第二列是 $(m+n) \times n$，所以需要谨慎：实际上，分块矩阵的列变换：将第二列（$n$ 列）乘以 $A$ 加到第一列（$m$ 列），但 $A$ 是 $m \times n$，所以乘法是 $A$ 右乘第二列？更准确地说，变换矩阵为 $\begin{pmatrix} E_m & -A \\ 0 & E_n \end{pmatrix}$ 右乘。但这里直接写结果。
步骤 4/7
目标：利用秩相等得到关系式
由于初等变换不改变矩阵的秩，所以两个变换后的矩阵秩相等。从行变换结果得秩为 $m + r(E_n + BA)$，从列变换结果得秩为 $r(E_m + AB) + n$。因此 $m + r(E_n + BA) = r(E_m + AB) + n$，移项即得 $r(E_m + AB) - r(E_n + BA) = m - n$。
公式：$r\begin{pmatrix} E_m & A \\ 0 & E_n+BA \end{pmatrix} = m + r(E_n+BA)$，$r\begin{pmatrix} E_m+AB & 0 \\ -B & E_n \end{pmatrix} = r(E_m+AB) + n$
提示：注意分块对角矩阵的秩等于各块秩之和，但这里不是对角矩阵，而是上三角或下三角，但秩仍为对角块秩之和，因为非对角块不影响？实际上，对于形如 $\begin{pmatrix} I & X \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ 的矩阵，其秩等于 $m + r(Y)$，因为可以通过行变换消去 $X$。同样，$\begin{pmatrix} Z & 0 \\ W & I \end{pmatrix}$ 的秩等于 $r(Z) + n$。
步骤 5/7
目标：证明可逆性
由（1）的结论，若 $E_m + AB$ 可逆，则 $r(E_m + AB) = m$，代入得 $m - r(E_n + BA) = m - n$，所以 $r(E_n + BA) = n$，即 $E_n + BA$ 满秩，故可逆。
公式：$r(E_m+AB)=m \Rightarrow r(E_n+BA)=n$
提示：注意可逆等价于满秩，且 $E_n+BA$ 是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 6/7
目标：猜测逆矩阵形式
猜测 $(E_n + BA)^{-1} = E_n - B(E_m + AB)^{-1}A$。这个形式类似于 Neumann 级数或 Sherman-Morrison 公式。
提示：注意矩阵乘法顺序：$B$ 是 $n \times m$，$(E_m+AB)^{-1}$ 是 $m \times m$，$A$ 是 $m \times n$，乘积是 $n \times n$。
步骤 7/7
目标：验证逆矩阵
计算 $(E_n + BA)(E_n - B(E_m + AB)^{-1}A) = E_n + BA - B(E_m + AB)^{-1}A - BAB(E_m + AB)^{-1}A$。由于 $BAB = B(AB)$，且 $AB(E_m+AB)^{-1} = (E_m+AB - E_m)(E_m+AB)^{-1} = E_m - (E_m+AB)^{-1}$，代入得 $= E_n + BA - B(E_m+AB)^{-1}A - B[E_m - (E_m+AB)^{-1}]A = E_n + BA - B(E_m+AB)^{-1}A - BA + B(E_m+AB)^{-1}A = E_n$。类似可验证另一侧。
公式：$(E_n+BA)(E_n - B(E_m+AB)^{-1}A) = E_n$
提示：注意 $AB$ 与 $(E_m+AB)^{-1}$ 可交换，因为 $(E_m+AB)^{-1}$ 是 $AB$ 的多项式。另外，验证另一侧时，需利用 $(E_n - B(E_m+AB)^{-1}A)(E_n+BA) = E_n$，类似推导。
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