西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $V$ 是复数域上以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为基底的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，且
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{1}(i=1,2,3) \\
\mathscr{A}\left(\alpha_{4}\right)=\alpha_{2}
\end{array}\right.
$$
求 $\displaystyle R(\mathscr{A}), N(\mathscr{A}), R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ ，其中 $\displaystyle R(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域，$\displaystyle N(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定线性变换在基下的作用
已知 $V$ 是复数域上以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为基底的线性空间，线性变换 $\mathscr{A}$ 满足：$\mathscr{A}(\alpha_i) = \alpha_1$（$i=1,2,3$），$\mathscr{A}(\alpha_4) = \alpha_2$。
提示：注意基向量在变换下的像，不要混淆 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$。
步骤 2/6
目标：求值域 $R(\mathscr{A})$
值域 $R(\mathscr{A})$ 由所有像向量生成：$R(\mathscr{A}) = \operatorname{span}\{\mathscr{A}(\alpha_1), \mathscr{A}(\alpha_2), \mathscr{A}(\alpha_3), \mathscr{A}(\alpha_4)\} = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_1, \alpha_1, \alpha_2\} = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2\}$。由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\dim R(\mathscr{A}) = 2$。
公式：$R(\mathscr{A}) = \operatorname{span}\{\mathscr{A}(\alpha_1), \mathscr{A}(\alpha_2), \mathscr{A}(\alpha_3), \mathscr{A}(\alpha_4)\}$
提示：注意重复的向量只算一次，不要误以为维数为4。
步骤 3/6
目标：求核 $N(\mathscr{A})$ 的方程组
设 $x = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4$，则 $\mathscr{A}(x) = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_1 + x_3\alpha_1 + x_4\alpha_2 = (x_1+x_2+x_3)\alpha_1 + x_4\alpha_2$。令 $\mathscr{A}(x)=0$，得方程组：$\begin{cases} x_1+x_2+x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases}$。
公式：$\mathscr{A}(x) = (x_1+x_2+x_3)\alpha_1 + x_4\alpha_2$
提示：注意 $\mathscr{A}(x)$ 的表达式，不要漏掉系数。
步骤 4/6
目标：解方程组得到核的基
由 $x_4=0$ 且 $x_1+x_2+x_3=0$，得 $x_1 = -x_2 - x_3$。因此 $x = (-x_2-x_3)\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = x_2(\alpha_2-\alpha_1) + x_3(\alpha_3-\alpha_1)$。取 $x_2=1, x_3=0$ 得 $\alpha_2-\alpha_1$；取 $x_2=0, x_3=1$ 得 $\alpha_3-\alpha_1$。故 $N(\mathscr{A}) = \operatorname{span}\{\alpha_2-\alpha_1, \alpha_3-\alpha_1\}$，维数2。
提示：核的基不唯一，但维数固定。注意 $\alpha_2-\alpha_1$ 与 $\alpha_3-\alpha_1$ 线性无关。
步骤 5/6
目标：求 $R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ 的表达式
设 $y \in R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$，则 $y$ 可表示为 $y = a\alpha_1 + b\alpha_2$（因为 $y \in R(\mathscr{A})$），且 $\mathscr{A}(y)=0$。计算 $\mathscr{A}(y) = a\mathscr{A}(\alpha_1) + b\mathscr{A}(\alpha_2) = a\alpha_1 + b\alpha_1 = (a+b)\alpha_1$。令 $\mathscr{A}(y)=0$，得 $a+b=0$，即 $b=-a$。所以 $y = a\alpha_1 - a\alpha_2 = a(\alpha_1-\alpha_2)$。
公式：$\mathscr{A}(y) = (a+b)\alpha_1$
提示：注意 $\mathscr{A}(\alpha_1)=\alpha_1$，$\mathscr{A}(\alpha_2)=\alpha_1$，不要混淆。
步骤 6/6
目标：得到 $R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ 的基和维数
因此 $R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A}) = \operatorname{span}\{\alpha_1-\alpha_2\}$，维数为1。
提示：注意 $\alpha_1-\alpha_2$ 非零，且属于 $R(\mathscr{A})$ 和 $N(\mathscr{A})$。
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