西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & & & \\
& 0 & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & 0 & 1 \\
1 & & & & 0
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccccc}
c_{0} & c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & c_{1} & \ddots & \vdots \\
\vdots & c_{n-1} & c_{0} & \ddots & c_{2} \\
c_{2} & \ddots & \ddots & \ddots & c_{1} \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）用 $E$ 及 $A$ 的幂表示循环矩阵 $C$ ．
（2）求 $\displaystyle A, C$ 的特征值及 $C$ 的行列式．
（3）证明：$C$ 相似于对角阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解循环矩阵与循环移位矩阵的关系
矩阵 $A$ 是循环移位矩阵，其幂次 $A^k$ 表示将标准基向量循环移位 $k$ 次。具体地，$A^k$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为：当 $j-i \equiv k \pmod{n}$ 时为 1，否则为 0。循环矩阵 $C$ 的第一行元素为 $(c_0, c_1, \dots, c_{n-1})$，且每一行是上一行的循环右移。因此，$C$ 可以表示为 $C = c_0 I + c_1 A + c_2 A^2 + \cdots + c_{n-1} A^{n-1}$，其中 $I = A^0$ 是单位矩阵。
公式：C = \sum_{k=0}^{n-1} c_k A^k
提示：注意 $A$ 的幂次与循环移位的关系，$A^k$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\delta_{j-i \equiv k \pmod{n}}$。
步骤 2/5
目标：求 $A$ 的特征值
$A$ 是置换矩阵，对应循环置换 $(1\ 2\ \cdots\ n)$。其特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \lambda^n - 1$，因此特征值为 $n$ 次单位根：$\lambda_k = \omega^k$，其中 $\omega = e^{2\pi i/n}$，$k=0,1,\dots,n-1$。
公式：\det(\lambda I - A) = \lambda^n - 1, \quad \lambda_k = \omega^k
提示：注意 $A$ 是循环置换矩阵，特征多项式可直接由循环置换的性质得到。
步骤 3/5
目标：求 $C$ 的特征值
由于 $C = f(A)$，其中 $f(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{n-1} x^{n-1}$，则 $C$ 的特征值为 $f(\lambda_k)$，即 $\mu_k = f(\omega^k) = \sum_{j=0}^{n-1} c_j \omega^{kj}$，$k=0,1,\dots,n-1$。
公式：\mu_k = \sum_{j=0}^{n-1} c_j \omega^{kj}
提示：利用 $C = f(A)$ 和 $A$ 的特征值，注意 $f$ 是多项式。
步骤 4/5
目标：求 $C$ 的行列式
$C$ 的行列式等于其特征值的乘积：$\det C = \prod_{k=0}^{n-1} \mu_k = \prod_{k=0}^{n-1} \left( \sum_{j=0}^{n-1} c_j \omega^{kj} \right)$。
公式：\det C = \prod_{k=0}^{n-1} \mu_k
提示：行列式是特征值的乘积，注意特征值可能为复数。
步骤 5/5
目标：证明 $C$ 可对角化
由于 $A$ 是循环置换矩阵，其特征多项式 $\lambda^n - 1$ 无重根，因此 $A$ 可对角化。实际上，$A$ 是正规矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_{n-1})$。则 $P^{-1} C P = P^{-1} f(A) P = f(P^{-1}AP) = \operatorname{diag}(f(\lambda_0), f(\lambda_1), \dots, f(\lambda_{n-1}))$，因此 $C$ 相似于对角阵。
公式：P^{-1} C P = \operatorname{diag}(f(\lambda_0), \dots, f(\lambda_{n-1}))
提示：关键：$A$ 可对角化，且 $C$ 是 $A$ 的多项式，因此 $C$ 也可对角化。
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