西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．（10 分）设 $f$ 是 $n$ 阶方阵全体构成的集合到数集上的映射，满足对任意的 $n$ 阶方阵 $A$ ，对任意的 $\displaystyle 1 \leq j \leq n$ ，对任意的常数 $c$ ，有
（1）若 $A$ 的第 $j$ 列等于 $B$ 和 $C$ 的第 $j$ 列之和，且 $A$ 的其余列与 $\displaystyle B, C$ 的对应列完全相同，则
$$
f(A)=f(B)+f(C)
$$
（2）将 $A$ 的第 $j$ 列乘以 $c$ 得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=c f(A)$ ．
（3）对换 $A$ 的任意两列得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=-f(A)$ ．
（4）$\displaystyle f\left(E_{n}\right)=1$ ．
证明：
（1）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，则
$$
f(A)=\sum_{\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right) \in S_{n}} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \cdots a_{i_{n} n} f\left(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}\right) .
$$
其中 $\displaystyle S_{n}$ 是 $\displaystyle 1,2, \cdots, n$ 的全排列，$\displaystyle e_{i 1}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}$ 分别表示第 $\displaystyle i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ 个元素为 1 其余元素为 0 的单位列向量．
（2）$\displaystyle f(A)=|A|$ ，即 $\displaystyle f(A)$ 表示 $A$ 的行列式．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知 $f$ 是 $n$ 阶方阵全体到数集的映射，满足四条性质：对每列线性（性质1和2）、反对称性（性质3）、单位矩阵值为1（性质4）。需要证明 $f(A) = |A|$。
提示：注意性质1和2合起来表明 $f$ 对每一列是线性的，即多重线性性。
步骤 2/6
目标：将矩阵按列展开
设 $A$ 的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，其中 $\alpha_j = (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{nj})^T$。将每一列用标准基表示：$\alpha_j = \sum_{i=1}^n a_{ij} e_i$。
公式：$\alpha_j = \sum_{i=1}^n a_{ij} e_i$
提示：标准基向量 $e_i$ 是第 $i$ 个分量为1其余为0的列向量。
步骤 3/6
目标：利用多重线性性展开
由 $f$ 对每一列的线性性，将 $f(A)$ 展开为多重求和：
$$f(A) = f\left( \sum_{i_1=1}^n a_{i_1 1} e_{i_1}, \sum_{i_2=1}^n a_{i_2 2} e_{i_2}, \dots, \sum_{i_n=1}^n a_{i_n n} e_{i_n} \right) = \sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n \cdots \sum_{i_n=1}^n a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n} f(e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_n}).$$
公式：$f(A) = \sum_{i_1,\dots,i_n} a_{i_1 1}\cdots a_{i_n n} f(e_{i_1},\dots,e_{i_n})$
提示：展开时注意每个求和指标独立，共 $n^n$ 项。
步骤 4/6
目标：利用反对称性化简求和范围
由性质3，$f$ 是反对称的：交换两列改变符号。因此，若 $i_1, i_2, \dots, i_n$ 中有重复，则 $f(e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_n}) = 0$（因为交换重复的两列得到自身，但符号相反，故为零）。所以只有 $i_1, i_2, \dots, i_n$ 互异时才有贡献，即 $(i_1, i_2, \dots, i_n)$ 是 $1,2,\dots,n$ 的一个排列。于是：
$$f(A) = \sum_{(i_1 i_2 \cdots i_n) \in S_n} a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n} f(e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_n}).$$
公式：$f(A) = \sum_{\sigma \in S_n} a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n} f(e_{\sigma(1)}, e_{\sigma(2)}, \dots, e_{\sigma(n)})$
提示：注意 $S_n$ 是 $n$ 阶对称群，即所有排列的集合。
步骤 5/6
目标：计算 $f(e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_n})$
考虑矩阵 $(e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_n})$，它可通过交换单位矩阵 $E_n$ 的列得到。设排列 $\sigma$ 满足 $\sigma(j) = i_j$，则交换次数为 $\sigma$ 的逆序数，符号为 $\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{逆序数}}$。由性质3，每交换一次符号改变一次，故：
$$f(e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_n}) = \operatorname{sgn}(\sigma) f(E_n).$$
由性质4，$f(E_n)=1$，所以 $f(e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_n}) = \operatorname{sgn}(\sigma)$。
公式：$f(e_{\sigma(1)}, e_{\sigma(2)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \operatorname{sgn}(\sigma)$
提示：注意排列的符号定义为 $(-1)^{\text{逆序数}}$。
步骤 6/6
目标：代入得到行列式表达式
将 $f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n}) = \operatorname{sgn}(\sigma)$ 代入步骤4的结果：
$$f(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}.$$
这正是行列式的定义式，因此 $f(A) = |A|$。
公式：$f(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{j=1}^n a_{\sigma(j)j} = |A|$
提示：行列式的定义有多种等价形式，此处为按列展开的 Leibniz 公式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。