西北工业大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a, b), B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (c, d), a, b, c, d>0$ ．证明：
（1）$\displaystyle A+B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a+c, b+d)$ ．
（2）$\displaystyle A B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a c, b d)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正交相似变换简化问题
由于 $A$ 是正定矩阵，存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = \Lambda_A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i \in (a, b)$。令 $B' = P^T B P$，则 $B'$ 仍为正定矩阵，且 $A+B$ 与 $\Lambda_A + B'$ 相似，从而有相同的特征值。
公式：$P^T A P = \Lambda_A$, $B' = P^T B P$
提示：注意正交变换保持矩阵的正定性，且相似矩阵有相同特征值。
步骤 2/6
目标：估计二次型 $x^T (\Lambda_A + B') x$ 的上下界
对于任意非零向量 $x$，有 $x^T (\Lambda_A + B') x = x^T \Lambda_A x + x^T B' x$。由于 $B'$ 正定，$x^T B' x > 0$。又因为 $\lambda_i \in (a, b)$，所以 $a \|x\|^2 < x^T \Lambda_A x < b \|x\|^2$。同时，$B'$ 的特征值全属于 $(c, d)$，因此 $c \|x\|^2 < x^T B' x < d \|x\|^2$。相加得 $(a+c) \|x\|^2 < x^T (\Lambda_A + B') x < (b+d) \|x\|^2$。
公式：$a \|x\|^2 < x^T \Lambda_A x < b \|x\|^2$, $c \|x\|^2 < x^T B' x < d \|x\|^2$
提示：注意 $x^T \Lambda_A x = \sum \lambda_i x_i^2$，其界由特征值的范围决定。
步骤 3/6
目标：应用 Rayleigh 商定理得到特征值范围
由 Rayleigh 商定理，实对称矩阵 $\Lambda_A + B'$ 的特征值介于其最小和最大 Rayleigh 商之间。而 Rayleigh 商 $R(x) = \frac{x^T (\Lambda_A + B') x}{\|x\|^2}$ 满足 $(a+c) < R(x) < (b+d)$ 对所有非零 $x$ 成立，因此所有特征值属于 $(a+c, b+d)$。
公式：$\lambda_{\min} \leq \frac{x^T M x}{x^T x} \leq \lambda_{\max}$
提示：Rayleigh 商定理要求矩阵对称，这里 $\Lambda_A + B'$ 是对称的。
步骤 4/6
目标：将 $AB$ 相似变换为对称矩阵
由于 $A$ 正定，存在正定矩阵 $C$ 使得 $A = C^2$。则 $AB$ 与 $C B C$ 相似，因为 $C^{-1} (AB) C = C^{-1} C^2 B C = C B C$。而 $C B C$ 是实对称矩阵（因为 $C$ 和 $B$ 对称），其特征值为实数。
公式：$A = C^2$, $C^{-1} (AB) C = C B C$
提示：注意 $C$ 是正定矩阵，因此可逆且对称。$C B C$ 的对称性由 $C$ 和 $B$ 的对称性保证。
步骤 5/6
目标：估计二次型 $x^T (C B C) x$ 的上下界
对于任意非零向量 $x$，令 $y = C x$，则 $x^T (C B C) x = (C x)^T B (C x) = y^T B y$。由于 $B$ 的特征值全属于 $(c, d)$，有 $c \|y\|^2 < y^T B y < d \|y\|^2$。而 $\|y\|^2 = x^T C^2 x = x^T A x$，且 $A$ 的特征值全属于 $(a, b)$，所以 $a \|x\|^2 < x^T A x < b \|x\|^2$。因此 $c \cdot a \|x\|^2 < y^T B y < d \cdot b \|x\|^2$，即 $ac \|x\|^2 < x^T (C B C) x < bd \|x\|^2$。
公式：$y = C x$, $\|y\|^2 = x^T A x$, $c \|y\|^2 < y^T B y < d \|y\|^2$
提示：注意 $x^T A x$ 的界由 $A$ 的特征值给出，且 $\|y\|^2$ 与 $\|x\|^2$ 的关系通过 $A$ 的二次型联系。
步骤 6/6
目标：应用 Rayleigh 商定理得到 $AB$ 的特征值范围
由 Rayleigh 商定理，实对称矩阵 $C B C$ 的特征值介于其最小和最大 Rayleigh 商之间。而 Rayleigh 商 $R(x) = \frac{x^T (C B C) x}{\|x\|^2}$ 满足 $ac < R(x) < bd$ 对所有非零 $x$ 成立，因此 $C B C$ 的所有特征值属于 $(ac, bd)$。由于 $AB$ 与 $C B C$ 相似，它们有相同的特征值，故 $AB$ 的特征值全属于 $(ac, bd)$。
公式：$\lambda_{\min} \leq \frac{x^T M x}{x^T x} \leq \lambda_{\max}$
提示：相似矩阵特征值相同，因此 $AB$ 的特征值范围与 $C B C$ 相同。
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