西南交通大学 2026年高等代数第10题
📝 题目
10、设 $\displaystyle f(x)=x^{5}+m x+1$ ，求 $m$ 使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $Q$ 上可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定有理根的可能性
由于 $f(x)=x^5+mx+1$ 是首一多项式，根据有理根定理，若 $f(x)$ 有有理根，则必为整数且整除常数项 $1$，故可能的有理根为 $\pm 1$。
公式：有理根定理
提示：注意首一多项式有理根必为整数，且整除常数项。
步骤 2/8
目标：代入 $x=1$ 求解 $m$
若 $x=1$ 是根，则 $f(1)=1+m+1=0$，解得 $m=-2$。此时 $f(x)=x^5-2x+1$，因式分解为 $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-1)$，故可约。
公式：$f(1)=0 \Rightarrow m=-2$
提示：代入后检查因式分解是否正确。
步骤 3/8
目标：代入 $x=-1$ 求解 $m$
若 $x=-1$ 是根，则 $f(-1)=-1-m+1=0$，解得 $m=0$。此时 $f(x)=x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$，故可约。
公式：$f(-1)=0 \Rightarrow m=0$
提示：注意 $x^5+1$ 的因式分解公式。
步骤 4/8
目标：考虑无有理根时的可约性
若 $f(x)$ 无有理根，则可能分解为两个次数大于1的整系数多项式乘积，即二次乘三次。设 $f(x)=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$，其中 $a,b,c,d,e \in \mathbb{Z}$。展开并比较系数。
公式：多项式乘法展开
提示：注意常数项乘积为 $1$，故 $b,e$ 只能为 $\pm1$。
步骤 5/8
目标：建立方程组并求解
展开得 $x^5+(a+c)x^4+(ac+b+d)x^3+(ad+bc+e)x^2+(ae+bd)x+be = x^5+mx+1$。比较系数得：
\begin{cases}
a+c=0 \\
ac+b+d=0 \\
ad+bc+e=0 \\
ae+bd=m \\
be=1
\end{cases}
由 $be=1$ 得两组解：$b=1,e=1$ 或 $b=-1,e=-1$。
公式：系数比较方程组
提示：注意 $a,c$ 为整数，$a+c=0$ 是关键。
步骤 6/8
目标：求解 $b=1,e=1$ 的情况
代入 $b=1,e=1$，方程组化为：
\begin{cases}
a+c=0 \\
ac+1+d=0 \\
ad+c+1=0 \\
a+d=m
\end{cases}
由 $a+c=0$ 得 $c=-a$，代入第二式得 $-a^2+1+d=0$，即 $d=a^2-1$；代入第三式得 $a(-a)+a+1=0$，即 $-a^2+a+1=0$，解得 $a=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，非整数，故无整数解。
公式：代入消元
提示：注意 $a$ 必须是整数，此情况无解。
步骤 7/8
目标：求解 $b=-1,e=-1$ 的情况
代入 $b=-1,e=-1$，方程组化为：
\begin{cases}
a+c=0 \\
ac-1+d=0 \\
ad-c-1=0 \\
-a-d=m
\end{cases}
由 $a+c=0$ 得 $c=-a$，代入第二式得 $-a^2-1+d=0$，即 $d=a^2+1$；代入第三式得 $a(-a)-a-1=0$，即 $-a^2-a-1=0$，判别式 $1-4=-3<0$，无实数解，故无整数解。
公式：代入消元
提示：判别式小于0，无整数解。
步骤 8/8
目标：总结 $m$ 的值
综上，只有 $m=-2$ 和 $m=0$ 时 $f(x)$ 有有理根，从而可约。其他情况无有理根且无二次因子，故在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。因此 $m$ 的值为 $m=-2$ 或 $m=0$。
提示：注意检查是否还有其他分解可能，如三次乘二次，但已涵盖。
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