西南交通大学 2026年高等代数第11题
📝 题目
11、若 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1} \geq \frac{\eta}{2}$ ，证明：存在 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus W_{1}=V_{1} \oplus W_{2}$ ，且 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}=\{0\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：取基并扩充
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_1$ 是 $V$ 的子空间，且 $\dim V_1 = m \geq \frac{n}{2}$。取 $V_1$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$，将其扩充为 $V$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_{n-m}$。
提示：注意基的扩充是可行的，因为 $V_1$ 是子空间。
步骤 2/6
目标：构造 $W_1$
令 $W_1 = \operatorname{span}\{\beta_1,\dots,\beta_{n-m}\}$，则 $V = V_1 \oplus W_1$，因为 $\alpha_i$ 与 $\beta_j$ 合起来是 $V$ 的基。
提示：直和分解要求 $V_1 \cap W_1 = \{0\}$ 且 $V_1+W_1=V$，这里显然成立。
步骤 3/6
目标：构造 $W_2$ 的生成元
由于 $m \geq n/2$，有 $n-m \leq m$。考虑 $V_1$ 中的前 $n-m$ 个基向量 $\alpha_1,\dots,\alpha_{n-m}$（若 $n-m=0$，则取空集）。令 $\gamma_i = \alpha_i + \beta_i$ 对 $i=1,\dots,n-m$。则 $\gamma_1,\dots,\gamma_{n-m}$ 线性无关，因为若 $\sum c_i \gamma_i = 0$，则 $\sum c_i \alpha_i + \sum c_i \beta_i = 0$，由 $\alpha_i,\beta_j$ 线性无关得 $c_i=0$。令 $W_2 = \operatorname{span}\{\gamma_1,\dots,\gamma_{n-m}\}$。
提示：注意 $n-m$ 可能为0，此时 $W_2 = \{0\}$，结论平凡成立。
步骤 4/6
目标：证明 $V = V_1 \oplus W_2$
首先证 $V_1 \cap W_2 = \{0\}$：设 $v \in V_1 \cap W_2$，则 $v = \sum_{i=1}^m a_i \alpha_i = \sum_{i=1}^{n-m} c_i (\alpha_i + \beta_i)$。比较 $\beta_i$ 的系数得 $c_i = 0$（$i=1,\dots,n-m$），故 $v=0$。其次，$\dim V_1 + \dim W_2 = m + (n-m) = n$，所以 $V = V_1 \oplus W_2$。
提示：注意比较系数时，$\beta_i$ 只出现在 $W_2$ 的表达式中，且 $\alpha_i$ 与 $\beta_j$ 线性无关。
步骤 5/6
目标：证明 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$
设 $w \in W_1 \cap W_2$，则 $w = \sum_{i=1}^{n-m} b_i \beta_i = \sum_{i=1}^{n-m} c_i (\alpha_i + \beta_i)$。比较 $\alpha_i$ 的系数得 $c_i = 0$，故 $w=0$。因此 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
提示：注意 $\alpha_i$ 只出现在 $W_2$ 的表达式中，且与 $\beta_j$ 线性无关。
步骤 6/6
目标：结论
因此，存在子空间 $W_1$ 和 $W_2$ 使得 $V = V_1 \oplus W_1 = V_1 \oplus W_2$，且 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
提示：注意 $W_1$ 和 $W_2$ 的维数都是 $n-m$，但它们的交为零。
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