西南交通大学 2026年高等代数第12题
📝 题目
12、若 $\displaystyle A, B$ 为正交阵．
（1）若 $\displaystyle |A|+|B|=0$ ，证 $\displaystyle |A+B|=0$ ．
（2）若 $n$ 为奇数，$\displaystyle |(A-B)(A+B)|=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用正交矩阵性质化简|A+B|
由于 $A$ 正交，$|A| = \pm 1$，且 $A^T A = I$。将 $|A+B|$ 写成 $|A||I + A^T B|$，因为 $|A+B| = |A||A^T A + A^T B| = |A||I + A^T B|$。
公式：|A+B| = |A||I + A^T B|
提示：注意矩阵乘法顺序，$A^T B$ 是正交矩阵。
步骤 2/8
目标：设C=ATB并利用正交性
令 $C = A^T B$，则 $C$ 是正交矩阵，且 $|C| = |A^T||B| = |A||B|$。由 $|A|+|B|=0$ 得 $|A| = -|B|$，故 $|C| = |A||B| = -1$。于是 $|A+B| = |A||I+C|$。
公式：|C| = |A||B| = -1
提示：正交矩阵的行列式为±1，乘积为-1。
步骤 3/8
目标：推导|I+C|=0
考虑 $|I+C|$，由于 $C$ 正交，$C^T = C^{-1}$。计算 $|I+C| = |C^T + I| = |C^{-1}+I|$。又 $|I+C| = |C||C^{-1}+I| = |C||I+C|$，所以 $(1-|C|)|I+C|=0$。因为 $|C|=-1$，$1-|C|=2 \neq 0$，故 $|I+C|=0$。
公式：(1-|C|)|I+C|=0
提示：注意 $|C^{-1}+I| = |C^T+I| = |I+C|$，因为转置不改变行列式。
步骤 4/8
目标：结论(1)
由 $|A+B| = |A||I+C|$ 和 $|I+C|=0$ 得 $|A+B|=0$。
步骤 5/8
目标：化简|(A-B)(A+B)|
首先 $|(A-B)(A+B)| = |A-B| \cdot |A+B|$。类似地，$|A-B| = |A||I - C|$，$|A+B| = |A||I+C|$，其中 $C = A^T B$ 正交。于是 $|(A-B)(A+B)| = |A|^2 |I-C||I+C| = |I-C||I+C|$，因为 $|A|^2=1$。
公式：|(A-B)(A+B)| = |I-C||I+C|
提示：注意 $|A|^2=1$，因为正交矩阵行列式为±1。
步骤 6/8
目标：利用特征值分析|I-C||I+C|
由于 $C$ 正交，其特征值模长为1。$I-C$ 的特征值为 $1-\lambda$，$I+C$ 的特征值为 $1+\lambda$。若 $C$ 有特征值1，则 $|I-C|=0$；若 $C$ 有特征值-1，则 $|I+C|=0$。
提示：注意特征值可能为复数，但实特征值只有±1。
步骤 7/8
目标：利用n为奇数保证存在实特征值
因为 $n$ 为奇数，正交矩阵 $C$ 的特征多项式是实系数奇次多项式，必有实根，即存在实特征值。实特征值只能是 $\pm 1$。因此 $C$ 至少有一个特征值为1或-1，从而 $|I-C||I+C|=0$。
提示：奇次实多项式必有实根，正交矩阵的实特征值只能是±1。
步骤 8/8
目标：结论(2)
由 $|(A-B)(A+B)| = |I-C||I+C| = 0$ 得证。
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