西南交通大学 2026年高等代数第13题
📝 题目
13、 $A$ 有不同特征值，$\displaystyle A B=B A$ ，证明：存在 $f$ 使 $\displaystyle B=f(A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用特征值互异得到特征向量基
设 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$。由于特征值互异，特征向量线性无关，因此 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$ 构成 $\mathbb{C}^n$ 的一组基。
提示：注意：特征值互异保证特征向量线性无关，这是后续推导的基础。
步骤 2/6
目标：利用交换性推导B作用在特征向量上的结果
由 $AB=BA$，对每个特征向量 $\alpha_i$，有 $A(B\alpha_i)=B(A\alpha_i)=B(\lambda_i\alpha_i)=\lambda_i B\alpha_i$。因此 $B\alpha_i$ 也是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。
公式：A(B\alpha_i)=\lambda_i B\alpha_i
提示：注意：这里用到 $A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i$ 和 $AB=BA$。
步骤 3/6
目标：由特征空间一维性得到数乘关系
由于特征值 $\lambda_i$ 互异，其几何重数为1，即特征空间是一维的。因此 $B\alpha_i$ 与 $\alpha_i$ 共线，存在数 $\mu_i$ 使得 $B\alpha_i=\mu_i\alpha_i$。
公式：B\alpha_i=\mu_i\alpha_i
提示：注意：特征值互异保证每个特征空间维数为1，这是关键。
步骤 4/6
目标：构造多项式f满足插值条件
构造多项式 $f(x)$ 使得 $f(\lambda_i)=\mu_i$ 对所有 $i=1,\dots,n$ 成立。利用拉格朗日插值公式：
$$f(x)=\sum_{i=1}^n \mu_i \prod_{j\neq i}\frac{x-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}.$$
该多项式次数不超过 $n-1$。
公式：f(x)=\sum_{i=1}^n \mu_i \prod_{j\neq i}\frac{x-\lambda_j}{\lambda_i-\lambda_j}
提示：注意：插值多项式存在且唯一，因为节点互异。
步骤 5/6
目标：验证f(A)在基上的作用与B一致
对每个特征向量 $\alpha_i$，有 $f(A)\alpha_i = f(\lambda_i)\alpha_i = \mu_i\alpha_i = B\alpha_i$。这里用到 $A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i$ 以及多项式矩阵函数的性质：若 $A\alpha=\lambda\alpha$，则 $f(A)\alpha=f(\lambda)\alpha$。
公式：f(A)\alpha_i = f(\lambda_i)\alpha_i
提示：注意：多项式矩阵函数作用于特征向量时，相当于特征值代入多项式。
步骤 6/6
目标：由基上相等推出矩阵相等
由于 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$ 是 $\mathbb{C}^n$ 的一组基，且 $f(A)$ 和 $B$ 在这组基上的作用相同，因此 $f(A)=B$。
提示：注意：两个线性变换在一组基上相等则它们相等。
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