西南交通大学 2026年高等代数第14题
📝 题目
14、若 $A$ 半正定，$B$ 正定，证明：$\displaystyle |A+B| \geqslant|B|$ ，等号成立 $\displaystyle \Leftrightarrow A=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用B正定进行合同变换
由于$B$正定，存在可逆矩阵$P$使得$P^T B P = I$（单位矩阵）。令$C = P^T A P$，则$C$半正定。
公式：$P^T B P = I$
提示：注意$P$是可逆的，且$P^T B P$是合同变换，保持正定性。
步骤 2/6
目标：将原行列式转化为关于C和I的形式
计算$|A+B|$：$|A+B| = |P^T (A+B) P| \cdot |P^{-1}|^2 = |C + I| \cdot |B|^{-1} \cdot |B| = |C+I| \cdot |B|$，其中用到$|P^T B P| = |I| = 1$和$|P|^2 = |B|^{-1}$。
公式：$|A+B| = |C+I| \cdot |B|$
提示：注意行列式的乘法性质：$|P^T (A+B) P| = |P^T| \cdot |A+B| \cdot |P| = |A+B| \cdot |P|^2$，而$|P|^2 = |B|^{-1}$。
步骤 3/6
目标：将原不等式等价转化
原不等式$|A+B| \geq |B|$等价于$|C+I| \geq 1$，且等号成立当且仅当$C=0$。
提示：注意$|B|>0$，所以两边可同时除以$|B|$。
步骤 4/6
目标：利用正交对角化处理C
由于$C$半正定，存在正交矩阵$Q$使得$Q^T C Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中$\lambda_i \geq 0$。
公式：$Q^T C Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$
提示：正交矩阵满足$Q^T = Q^{-1}$，且保持行列式不变。
步骤 5/6
目标：计算|C+I|并证明不等式
计算$|C+I| = |Q^T (C+I) Q| = |\operatorname{diag}(\lambda_1+1, \dots, \lambda_n+1)| = \prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1) \geq 1$，因为每个$\lambda_i+1 \geq 1$。等号成立当且仅当所有$\lambda_i = 0$，即$C=0$。
公式：$|C+I| = \prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1)$
提示：注意$\lambda_i \geq 0$，所以乘积至少为1。
步骤 6/6
目标：将C=0等价回A=0
由于$P$可逆，$C=0$等价于$A=0$。因此原不等式成立，等号成立当且仅当$A=0$。
提示：注意$C = P^T A P$，$P$可逆，所以$C=0 \Leftrightarrow A=0$。
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