西南交通大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2、设在数域 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 上的最小线性空间维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确数域和生成元
题目中数域为 $\mathbb{Q}$，考虑集合 $\{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上生成的线性空间，即 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 作为 $\mathbb{Q}$-向量空间。
提示：注意数域是 $\mathbb{Q}$，不是 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。
步骤 2/7
目标：理解域扩张的维数
域扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 作为 $\mathbb{Q}$-线性空间的维数等于扩张次数 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}]$。
公式：$[K:F]$ 表示域扩张 $K/F$ 的维数。
提示：域扩张的维数就是线性空间的维数。
步骤 3/7
目标：使用塔性质分解扩张次数
根据域扩张的塔性质：$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})] \cdot [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]$。
公式：$[K:F] = [K:E][E:F]$ 对于中间域 $E$。
提示：确保中间域 $E$ 是 $F$ 的有限扩张且 $K$ 是 $E$ 的有限扩张。
步骤 4/7
目标：计算 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]$
$\sqrt{2}$ 是 $x^2-2$ 的根，该多项式在 $\mathbb{Q}$ 上不可约（由Eisenstein判别法，取 $p=2$），所以 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2$。
公式：不可约多项式的次数等于扩张次数。
提示：验证不可约性：$x^2-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上无有理根。
步骤 5/7
目标：计算 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]$
$\sqrt{3}$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上的最小多项式是 $x^2-3$。需验证其在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上不可约：假设 $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$，则存在 $a,b\in\mathbb{Q}$ 使 $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$，平方得 $3=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$，推出 $2ab=0$ 且 $a^2+2b^2=3$。若 $a=0$，则 $2b^2=3$，$b^2=3/2$，$b\notin\mathbb{Q}$；若 $b=0$，则 $a^2=3$，$a\notin\mathbb{Q}$。矛盾，故 $\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{2})$，所以 $x^2-3$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上不可约，扩张次数为 $2$。
公式：若 $\alpha$ 在 $F$ 上的最小多项式次数为 $n$，则 $[F(\alpha):F]=n$。
提示：注意 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 中的元素形式为 $a+b\sqrt{2}$，$a,b\in\mathbb{Q}$。
步骤 6/7
目标：计算总维数
由塔性质：$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}] = 2 \times 2 = 4$。因此，集合 $\{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上生成的线性空间维数为 $4$。
提示：维数等于扩张次数，即域作为向量空间的维数。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
最小线性空间维数为 $4$。
提示：答案应填 $4$。
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