西南交通大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3、 $A$ 为正定阵，在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 下，二次型 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) A\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 最大值最小值为 4,1 ，且 $\displaystyle |A|=8$ ，求 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意与已知条件
已知 $A$ 是3阶正定矩阵，二次型 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 在单位球面 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ 上的最大值和最小值分别为4和1。由正定矩阵的性质，该二次型在单位球面上的最大值和最小值等于 $A$ 的最大特征值和最小特征值。因此，$\lambda_{\max}=4$，$\lambda_{\min}=1$。
公式：对于实对称矩阵，$\max_{\|\mathbf{x}\|=1} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \lambda_{\max}$，$\min_{\|\mathbf{x}\|=1} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \lambda_{\min}$
提示：注意：正定矩阵的特征值全为正数，且二次型在单位球面上的最值就是特征值的极值。
步骤 2/4
目标：利用行列式条件求第三个特征值
已知 $|A|=8$，且 $A$ 的特征值乘积等于行列式。设三个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，其中 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=4$，则 $1 \times 4 \times \lambda_3 = 8$，解得 $\lambda_3 = 2$。
公式：$|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：注意：行列式等于特征值的乘积，且正定矩阵的特征值均为正数。
步骤 3/4
目标：计算矩阵的迹
矩阵的迹等于特征值之和。因此，$\operatorname{tr}(A) = 1 + 2 + 4 = 7$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$
提示：迹是特征值之和，与特征向量的选择无关。
步骤 4/4
目标：总结答案
因此，$\operatorname{tr}(A) = 7$。
提示：最终答案需填入空格。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。