西南财经大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．已知三元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 在正交线性替换 $\displaystyle X=Q Y$ 下化为标准形 $\displaystyle f=y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第一列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$ ，求矩阵 $A$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析标准形与特征值
由题意，二次型 $f(X)=X^\mathrm{T}AX$ 在正交变换 $X=QY$ 下化为标准形 $f=y_2^2+y_3^2$。标准形中只有平方项，系数为 $0,1,1$，因此矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=0$，$\lambda_2=1$，$\lambda_3=1$。正交矩阵 $Q$ 的列向量是对应特征值的单位正交特征向量。
公式：正交变换下，二次型矩阵 $A$ 与对角矩阵 $\Lambda=\operatorname{diag}(0,1,1)$ 合同且相似，即 $A=Q\Lambda Q^\mathrm{T}$。
提示：注意标准形中 $y_1$ 的系数为0，所以特征值0对应第一列。
步骤 2/6
目标：确定特征向量关系
已知 $Q$ 的第一列 $\alpha_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^\mathrm{T}$ 对应特征值0。由于 $Q$ 是正交矩阵，其列向量构成 $\mathbb{R}^3$ 的一组标准正交基，因此第二列 $\alpha_2$ 和第三列 $\alpha_3$ 必须与 $\alpha_1$ 正交，且彼此正交，长度均为1。
公式：正交矩阵满足 $Q^\mathrm{T}Q=I$，即列向量两两正交且单位化。
提示：特征值1的特征子空间是二维的，$\alpha_2,\alpha_3$ 可取该子空间的一组标准正交基。
步骤 3/6
目标：构造正交矩阵Q
取 $\alpha_2=(0,1,0)^\mathrm{T}$，它显然与 $\alpha_1$ 正交且为单位向量。再求 $\alpha_3$，需与 $\alpha_1,\alpha_2$ 正交。设 $\alpha_3=(x,y,z)^\mathrm{T}$，由正交条件：$\alpha_1\cdot\alpha_3=0$ 得 $\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0$，即 $x+z=0$；$\alpha_2\cdot\alpha_3=0$ 得 $y=0$。取 $x=-\frac{\sqrt{2}}{2},z=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\alpha_3=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^\mathrm{T}$，单位化后即为所求。于是 $Q=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$。
公式：向量正交条件：$\alpha_i\cdot\alpha_j=0$（$i\neq j$）。
提示：注意 $\alpha_3$ 的符号可正可负，但必须保证 $Q$ 的行列式为+1（旋转）或-1（反射），本题未要求，任意正交均可。
步骤 4/6
目标：利用相似对角化求A
由 $A=Q\Lambda Q^\mathrm{T}$，其中 $\Lambda=\operatorname{diag}(0,1,1)$。计算 $Q^\mathrm{T}$：$Q^\mathrm{T}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$。然后计算 $A=Q\Lambda Q^\mathrm{T}$。
公式：实对称矩阵正交相似于对角阵：$A=Q\Lambda Q^\mathrm{T}$。
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，所以 $Q^{-1}=Q^\mathrm{T}$。
步骤 5/6
目标：计算矩阵乘法
先计算 $\Lambda Q^\mathrm{T}$：$\Lambda Q^\mathrm{T}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$。再左乘 $Q$：$A=Q(\Lambda Q^\mathrm{T})=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$。计算得：第一行第一列：$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot0+(-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}$；第一行第二列：$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot1+(-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot0=0$；第一行第三列：$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot0+(-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}$；第二行第一列：$0\cdot0+1\cdot0+0\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})=0$；第二行第二列：$0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0=1$；第二行第三列：$0\cdot0+1\cdot0+0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0$；第三行第一列：$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot0+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{1}{2}$；第三行第二列：$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot1+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0=0$；第三行第三列：$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot0+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$。所以 $A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法规则。
提示：计算时注意顺序，先乘 $\Lambda$ 再乘 $Q$ 可简化。
步骤 6/6
目标：验证结果
验证 $A$ 的特征值：计算 $A$ 的特征多项式 $|\lambda I-A|=\begin{vmatrix} \lambda-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \lambda-\frac{1}{2} \end{vmatrix}= (\lambda-1)\left[(\lambda-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\right]=(\lambda-1)(\lambda^2-\lambda)=\lambda(\lambda-1)^2$，特征值为 $0,1,1$，正确。且 $A$ 的第一列 $\left(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right)^\mathrm{T}$ 与 $\alpha_1$ 成比例，验证了特征向量。
公式：特征多项式 $|\lambda I-A|=0$。
提示：验证可确保计算无误。
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