📝 西南财经大学 2026年高等代数真题

1．求行列式

$$
\left|\begin{array}{lllll}
a & b & b & b & b \\
b & a & b & b & b \\
b & b & a & b & b \\
b & b & b & a & b \\
b & b & b & b & a
\end{array}\right| .
$$

2．已知 $\displaystyle A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，且 $\displaystyle A^{*} B A=2 B A+E$ ．
（1）求 $\displaystyle |A|$ ．
（2）求矩阵 $B$ ．

3．已知

$$
\beta_{1}=\alpha_{2}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \cdots, \beta_{s}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s-1} .
$$

证明向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 的秩相同．

4．已知三元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 在正交线性替换 $\displaystyle X=Q Y$ 下化为标准形 $\displaystyle f=y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第一列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$ ，求矩阵 $A$ 。

5．求以 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为根的有理数域上的不可约多项式．

6．已知

$$
\begin{gathered}
\alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \\
\beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}} .
\end{gathered}
$$

且 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的基与维数．

7．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是数域 $P$ 上 4 维线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在这组基下的矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 3 & 4 & 2 \\
-2 & 5 & 1 & 3 \\
-6 & 17 & 9 & 11 \\
-7 & 18 & -17 & 11
\end{array}\right) .
$$

（1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的核及其一组基．
（2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的值域及其一组基．

8．设 $\displaystyle \eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个单位向量，定义变换 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \eta) \eta$ ．
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是正交变换．
（2）设 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle |A|=-1$ ．