西南财经大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．求以 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为根的有理数域上的不可约多项式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立方程
设 $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$，则 $x - \sqrt{2} = \sqrt{3}$，两边平方得 $x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 3$，整理得 $x^2 - 1 = 2\sqrt{2}x$。
公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
提示：平方时注意交叉项 $2\sqrt{2}x$ 的符号，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：消去根号
将 $x^2 - 1 = 2\sqrt{2}x$ 两边平方得 $(x^2 - 1)^2 = (2\sqrt{2}x)^2$，即 $x^4 - 2x^2 + 1 = 8x^2$，整理得 $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$。因此 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 是多项式 $f(x)=x^4-10x^2+1$ 的根。
公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
提示：平方后要合并同类项，注意 $8x^2$ 移到左边。
步骤 3/7
目标：验证无有理根
由有理根定理，$f(x)$ 的有理根只可能是 $\pm1$。计算 $f(1)=1-10+1=-8\neq0$，$f(-1)=1-10+1=-8\neq0$，故 $f(x)$ 无一次有理因式。
公式：有理根定理：若整系数多项式 $a_n x^n + \cdots + a_0$ 有有理根 $p/q$（既约），则 $p|a_0$，$q|a_n$。
提示：注意 $f(x)$ 是首一多项式，所以有理根必为整数且整除常数项。
步骤 4/7
目标：假设二次因式分解
若 $f(x)$ 可约，则只能分解为两个二次整系数多项式的乘积。设 $f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$，其中 $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$。展开得 $x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd$。
公式：多项式乘法展开
提示：由于 $f(x)$ 是首一多项式，二次因式也必须是首一的。
步骤 5/7
目标：比较系数列方程组
比较 $f(x)=x^4-10x^2+1$ 与展开式的系数，得方程组：
\[
\begin{cases}
a+c=0 \\
ac+b+d=-10 \\
ad+bc=0 \\
bd=1
\end{cases}
\]
公式：多项式相等则对应系数相等
提示：注意 $x^3$ 和 $x$ 的系数为0，所以 $a+c=0$ 和 $ad+bc=0$。
步骤 6/7
目标：求解方程组并判断无解
由 $bd=1$ 得 $b=d=\pm1$。
- 若 $b=d=1$，则 $ac+2=-10$ 即 $ac=-12$，结合 $a+c=0$ 得 $a^2=12$，无整数解。
- 若 $b=d=-1$，则 $ac-2=-10$ 即 $ac=-8$，结合 $a+c=0$ 得 $a^2=8$，无整数解。
因此不存在整数 $a,b,c,d$ 满足条件，故 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
公式：韦达定理：$a$ 和 $c$ 是方程 $t^2 - (a+c)t + ac = 0$ 的根
提示：注意 $a+c=0$ 推出 $c=-a$，代入 $ac$ 得 $-a^2$，所以 $a^2$ 必须为完全平方数。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 是 $f(x)=x^4-10x^2+1$ 的根，且 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，故所求不可约多项式为 $x^4-10x^2+1$。
提示：不可约多项式要求是首一的，且次数最低。
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