西南财经大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．已知
$$
\begin{gathered}
\alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \\
\beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}} .
\end{gathered}
$$
且 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的基与维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并设出交集中的向量
设 $\xi \in V_1 \cap V_2$，则存在数 $k_1, k_2, l_1, l_2$ 使得 $\xi = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 = l_1 \beta_1 + l_2 \beta_2$。
提示：注意交集中的向量可以同时由两组基线性表示，因此要设出两组系数。
步骤 2/6
目标：建立齐次线性方程组
由 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 - l_1 \beta_1 - l_2 \beta_2 = 0$，代入向量得方程组：
$$
\begin{cases}
k_1 - k_2 - 2l_1 - l_2 = 0, \\
2k_1 + k_2 + l_1 + l_2 = 0, \\
k_1 + k_2 - 3l_2 = 0, \\
k_2 - l_1 - 7l_2 = 0.
\end{cases}
$$
提示：注意每个分量对应一个方程，共四个方程。
步骤 3/6
目标：写出系数矩阵并化简
系数矩阵为
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}.
$$
行化简：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 3 & 5 & 3 \\
0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 2 & 2 & -2 \\
0 & 3 & 5 & 3
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 4 & 12 \\
0 & 0 & 8 & 24
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -7 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$
提示：行化简时注意交换行和倍加操作，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：得到同解方程组并求解
同解方程组为
$$
\begin{cases}
k_1 - k_2 - 2l_1 - l_2 = 0, \\
k_2 - l_1 - 7l_2 = 0, \\
l_1 + 3l_2 = 0.
\end{cases}
$$
取 $l_2 = 1$，则 $l_1 = -3$，$k_2 = l_1 + 7l_2 = -3 + 7 = 4$，$k_1 = k_2 + 2l_1 + l_2 = 4 - 6 + 1 = -1$。故非零解为 $(k_1, k_2, l_1, l_2) = (-1, 4, -3, 1)$。
提示：自由变量取非零值，通常取1简化计算。
步骤 5/6
目标：求出交集中的向量
从而 $\xi = -\alpha_1 + 4\alpha_2 = -3\beta_1 + \beta_2$。计算：
$$
-\alpha_1 + 4\alpha_2 = -(1,2,1,0)^T + 4(-1,1,1,1)^T = (-1-4, -2+4, -1+4, 0+4)^T = (-5, 2, 3, 4)^T.
$$
提示：注意向量线性组合的系数不要代错。
步骤 6/6
目标：确定交的基与维数
故 $V_1 \cap V_2$ 由向量 $(-5,2,3,4)^T$ 张成，维数为1，基为 $\{(-5,2,3,4)^T\}$。
提示：交的维数等于基础解系中向量的个数，这里只有一个非零解。
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