西南财经大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是数域 $P$ 上 4 维线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在这组基下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 3 & 4 & 2 \\
-2 & 5 & 1 & 3 \\
-6 & 17 & 9 & 11 \\
-7 & 18 & -17 & 11
\end{array}\right) .
$$
（1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的核及其一组基．
（2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的值域及其一组基．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并写出线性变换的矩阵
已知 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 是 $V$ 的一组基，线性变换 $\mathscr{T}$ 在该基下的矩阵为 $A$。要求 $\ker\mathscr{T}$ 和 $\operatorname{Im}\mathscr{T}$ 及其基。核是满足 $\mathscr{T}(\boldsymbol{x})=0$ 的向量集合，在基下对应解齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=0$。值域是 $\mathscr{T}$ 的像，由 $A$ 的列向量张成。
提示：注意核和值域的定义：核是零空间，值域是列空间。
步骤 2/6
目标：求核：解齐次线性方程组
对矩阵 $A$ 进行行化简：
$$A=\begin{pmatrix}
-1 & 3 & 4 & 2\\
-2 & 5 & 1 & 3\\
-6 & 17 & 9 & 11\\
-7 & 18 & -17 & 11
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\text{行变换}}
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -4 & -2\\
0 & -1 & -7 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
进一步化为行最简形：
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 17 & 1\\
0 & 1 & 7 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
提示：行化简时注意符号和倍数，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：写出同解方程组并求基础解系
由行最简形得同解方程组：
$$\begin{cases}
x_1 = -17x_3 - x_4,\\
x_2 = -7x_3 - x_4,
\end{cases}$$
其中 $x_3,x_4$ 为自由变量。取 $x_3=1,x_4=0$ 得 $\boldsymbol{\xi}_1=(-17,-7,1,0)^T$；取 $x_3=0,x_4=1$ 得 $\boldsymbol{\xi}_2=(-1,-1,0,1)^T$。
提示：自由变量的赋值要简单，通常取标准基向量。
步骤 4/6
目标：写出核的一组基
核 $\ker\mathscr{T}$ 的一组基为：
$$\boldsymbol{\alpha}_1' = -17\alpha_1 -7\alpha_2 + \alpha_3,\quad \boldsymbol{\alpha}_2' = -\alpha_1 -\alpha_2 + \alpha_4.$$
注意这里用原基表示。
提示：基向量是线性无关的，且张成核空间。
步骤 5/6
目标：求值域：确定列空间
值域 $\operatorname{Im}\mathscr{T}$ 由 $A$ 的列向量张成。由行化简知 $A$ 的秩为2，故值域维数为2。取第1、2列作为极大线性无关组：
$$\boldsymbol{\beta}_1 = (-1,-2,-6,-7)^T,\quad \boldsymbol{\beta}_2 = (3,5,17,18)^T.$$
提示：列空间的基可以从行阶梯形中主元列对应的原矩阵列中选取。
步骤 6/6
目标：写出值域的一组基
值域 $\operatorname{Im}\mathscr{T}$ 的一组基为：
$$\boldsymbol{\beta}_1' = -\alpha_1 -2\alpha_2 -6\alpha_3 -7\alpha_4,\quad \boldsymbol{\beta}_2' = 3\alpha_1 +5\alpha_2 +17\alpha_3 +18\alpha_4.$$
提示：基向量必须线性无关，且能张成整个值域。
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