西南财经大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle \eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个单位向量，定义变换 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \eta) \eta$ ．
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是正交变换．
（2）设 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle |A|=-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解变换定义
给定 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的单位向量 $\eta$，定义变换 $\sigma(\alpha) = \alpha - 2(\alpha, \eta)\eta$。该变换称为关于超平面 $\eta^\perp$ 的反射。
公式：$\sigma(\alpha) = \alpha - 2(\alpha, \eta)\eta$
提示：注意 $\eta$ 是单位向量，即 $(\eta, \eta)=1$。
步骤 2/8
目标：证明正交变换：计算内积
对任意 $\alpha, \beta \in V$，计算 $(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))$：
\[
(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha - 2(\alpha, \eta)\eta, \beta - 2(\beta, \eta)\eta) = (\alpha, \beta) - 2(\alpha, \eta)(\eta, \beta) - 2(\beta, \eta)(\alpha, \eta) + 4(\alpha, \eta)(\beta, \eta)(\eta, \eta).
\]
公式：内积的线性性和对称性
提示：展开时注意每一项的系数，不要遗漏交叉项。
步骤 3/8
目标：化简内积表达式
由于 $(\eta, \eta)=1$，代入得：
\[
(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta) - 2(\alpha, \eta)(\eta, \beta) - 2(\beta, \eta)(\alpha, \eta) + 4(\alpha, \eta)(\beta, \eta).
\]
注意 $(\eta, \beta) = (\beta, \eta)$，所以中间两项合并为 $-4(\alpha, \eta)(\beta, \eta)$，与最后一项抵消，得到 $(\alpha, \beta)$。
公式：$(\eta, \eta)=1$
提示：注意内积的对称性，$(\eta, \beta) = (\beta, \eta)$。
步骤 4/8
目标：结论：正交变换
因此 $(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta)$ 对所有 $\alpha, \beta \in V$ 成立，故 $\sigma$ 保持内积，是正交变换。
提示：正交变换的定义是保持内积，等价于保持长度和角度。
步骤 5/8
目标：构造标准正交基
取 $V$ 的一组标准正交基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n$，并令 $\varepsilon_1 = \eta$。由于 $\eta$ 是单位向量，可以扩充成标准正交基。
提示：确保基是标准正交的，即 $(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij}$。
步骤 6/8
目标：计算变换在基下的作用
计算 $\sigma$ 在每个基向量上的作用：
- 对于 $\varepsilon_1 = \eta$：$\sigma(\varepsilon_1) = \varepsilon_1 - 2(\varepsilon_1, \varepsilon_1)\varepsilon_1 = \varepsilon_1 - 2\varepsilon_1 = -\varepsilon_1$。
- 对于 $i=2,\dots,n$：由于 $(\varepsilon_i, \eta)=0$，有 $\sigma(\varepsilon_i) = \varepsilon_i - 2(\varepsilon_i, \eta)\eta = \varepsilon_i$。
公式：$\sigma(\alpha) = \alpha - 2(\alpha, \eta)\eta$
提示：注意 $(\varepsilon_i, \eta)=0$ 是因为 $\varepsilon_i$ 与 $\eta$ 正交。
步骤 7/8
目标：写出矩阵并计算行列式
因此 $\sigma$ 在该基下的矩阵为对角矩阵：
\[
A = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.
\]
其行列式为 $|A| = (-1) \times 1 \times \cdots \times 1 = -1$。
公式：对角矩阵的行列式等于对角元乘积
提示：注意第一列只有一个非零元 -1，其余对角元为1。
步骤 8/8
目标：说明行列式与基无关
由于正交变换在不同标准正交基下的矩阵是正交矩阵，且正交矩阵的行列式只可能为 $\pm 1$，并且相似变换不改变行列式，因此 $\sigma$ 在任意一组标准正交基下的矩阵行列式均为 $-1$。
公式：正交矩阵的行列式为 $\pm 1$
提示：注意：虽然矩阵在不同基下不同，但行列式相同。
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