西南财经大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．已知
$$
\beta_{1}=\alpha_{2}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \cdots, \beta_{s}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s-1} .
$$
证明向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 的秩相同．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定秩并建立初步关系
设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 的秩为 $r_\alpha$，向量组 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s$ 的秩为 $r_\beta$。由定义，每个 $\beta_i$ 都是 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 的线性组合，因此 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表示，故 $r_\beta \le r_\alpha$。
提示：注意线性表示与秩的关系：若向量组A可由向量组B线性表示，则秩(A) ≤ 秩(B)。
步骤 2/5
目标：求和得到S的表达式
将 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s$ 全部相加：
$$\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_s = (\alpha_2+\cdots+\alpha_s)+(\alpha_1+\alpha_3+\cdots+\alpha_s)+\cdots+(\alpha_1+\cdots+\alpha_{s-1})$$
每个 $\alpha_i$ 在右边出现了 $s-1$ 次，因此
$$\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_s = (s-1)(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s)$$
记 $S = \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s$，则 $\beta_1+\cdots+\beta_s = (s-1)S$。
公式：$$\sum_{i=1}^s \beta_i = (s-1)\sum_{i=1}^s \alpha_i$$
提示：注意每个α_i出现的次数是s-1，不要漏掉或重复。
步骤 3/5
目标：用β_i表示α_i
由 $\beta_i = S - \alpha_i$，可得 $\alpha_i = S - \beta_i$。又由 $S = \frac{1}{s-1}(\beta_1+\cdots+\beta_s)$，代入得
$$\alpha_i = \frac{1}{s-1}(\beta_1+\cdots+\beta_s) - \beta_i = \frac{1}{s-1}\sum_{j=1}^s \beta_j - \beta_i$$
因此每个 $\alpha_i$ 可由 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 线性表示。
公式：$$\alpha_i = \frac{1}{s-1}\sum_{j=1}^s \beta_j - \beta_i$$
提示：注意s=1时公式不成立，但题目隐含s≥2（因为β1=α2+...+αs，若s=1则β1为空和，通常不考虑）。
步骤 4/5
目标：由线性表示得到秩的另一不等式
由于每个 $\alpha_i$ 可由 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 线性表示，所以向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 可由 $\beta_1,\dots,\beta_s$ 线性表示，从而 $r_\alpha \le r_\beta$。
提示：线性表示的方向与秩的不等式方向一致：若A可由B表示，则秩(A) ≤ 秩(B)。
步骤 5/5
目标：综合两个不等式得出结论
由第一步得 $r_\beta \le r_\alpha$，由第四步得 $r_\alpha \le r_\beta$，因此 $r_\alpha = r_\beta$。即向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 与 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s$ 的秩相同。
提示：注意两个不等式同时成立才能推出相等，缺一不可。
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