西南财经大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．求行列式
$$
\left|\begin{array}{lllll}
a & b & b & b & b \\
b & a & b & b & b \\
b & b & a & b & b \\
b & b & b & a & b \\
b & b & b & b & a
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察行列式结构
该行列式为5阶矩阵，所有对角元为$a$，非对角元为$b$。注意到每行元素之和均为$a+4b$，这提示我们可以通过列变换将各行和提取出来。
提示：注意行列式的阶数，以及行和相等的特征。
步骤 2/5
目标：列变换：将第2至5列加到第1列
将第2、3、4、5列分别加到第1列，得到新行列式：
\[
\begin{vmatrix}
a+4b & b & b & b & b \\
a+4b & a & b & b & b \\
a+4b & b & a & b & b \\
a+4b & b & b & a & b \\
a+4b & b & b & b & a
\end{vmatrix}.
\]
此操作不改变行列式的值。
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意是列变换，不是行变换；加的是整列，不是元素。
步骤 3/5
目标：提取第1列公因子
第1列所有元素都有公因子$a+4b$，提取出来：
\[
(a+4b)\begin{vmatrix}
1 & b & b & b & b \\
1 & a & b & b & b \\
1 & b & a & b & b \\
1 & b & b & a & b \\
1 & b & b & b & a
\end{vmatrix}.
\]
公式：行列式性质：若某列有公因子，可提出。
提示：提取公因子后，行列式值乘以该因子。
步骤 4/5
目标：行变换：将第1行乘以-1加到其他行
将第1行乘以$-1$分别加到第2、3、4、5行，得到：
\[
(a+4b)\begin{vmatrix}
1 & b & b & b & b \\
0 & a-b & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & a-b & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & a-b & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & a-b
\end{vmatrix}.
\]
注意：第2行第1列变为$1-1=0$，第2列变为$a-b$，其余列$b-b=0$；类似地其他行。
公式：行列式性质：将一行的倍数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意行变换后非对角元变为0，对角元变为$a-b$。
步骤 5/5
目标：计算上三角行列式
现在行列式是上三角形式，对角线元素为$1$和四个$a-b$。上三角行列式的值等于对角线元素的乘积：
\[
(a+4b) \times 1 \times (a-b) \times (a-b) \times (a-b) \times (a-b) = (a+4b)(a-b)^4.
\]
公式：上三角行列式的值等于对角线元素的乘积。
提示：注意不要漏掉第一个元素1，以及指数是4。
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