西安电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1、矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & 6 & 1\end{array}\right), M_{i j}$ 表示矩阵 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的余子式，则 $\sum_{i, j=1}^{n} M_{i j}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解余子式的定义
余子式 $M_{ij}$ 是指从矩阵 $A$ 中删除第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $2 \times 2$ 子矩阵的行列式。注意，余子式不带符号，与代数余子式不同。
公式：$M_{ij} = \det(A_{ij})$，其中 $A_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的子矩阵。
提示：不要混淆余子式和代数余子式，代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$。
步骤 2/7
目标：列出所有余子式的计算公式
对于 $3 \times 3$ 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix}$，共有9个余子式，每个对应一个 $2 \times 2$ 子矩阵的行列式。
提示：注意每个余子式对应的行和列索引。
步骤 3/7
目标：计算第一行余子式
计算 $M_{11}$：去掉第1行第1列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$，行列式为 $1\cdot1 - (-1)\cdot6 = 1+6=7$。
计算 $M_{12}$：去掉第1行第2列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$，行列式为 $1\cdot1 - (-1)\cdot(-3) = 1-3=-2$。
计算 $M_{13}$：去掉第1行第3列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$，行列式为 $1\cdot6 - 1\cdot(-3) = 6+3=9$。
公式：二阶行列式公式：$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$。
提示：计算时注意符号，尤其是减法。
步骤 4/7
目标：计算第二行余子式
计算 $M_{21}$：去掉第2行第1列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$，行列式为 $2\cdot1 - 4\cdot6 = 2-24=-22$。
计算 $M_{22}$：去掉第2行第2列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$，行列式为 $3\cdot1 - 4\cdot(-3) = 3+12=15$。
计算 $M_{23}$：去掉第2行第3列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$，行列式为 $3\cdot6 - 2\cdot(-3) = 18+6=24$。
公式：二阶行列式公式。
提示：注意负数的乘法。
步骤 5/7
目标：计算第三行余子式
计算 $M_{31}$：去掉第3行第1列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，行列式为 $2\cdot(-1) - 4\cdot1 = -2-4=-6$。
计算 $M_{32}$：去掉第3行第2列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，行列式为 $3\cdot(-1) - 4\cdot1 = -3-4=-7$。
计算 $M_{33}$：去掉第3行第3列，得子矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，行列式为 $3\cdot1 - 2\cdot1 = 3-2=1$。
公式：二阶行列式公式。
提示：注意符号，尤其是负号。
步骤 6/7
目标：求和所有余子式
将所有余子式相加：$7 + (-2) + 9 + (-22) + 15 + 24 + (-6) + (-7) + 1$。
分组计算：$(7-2+9) = 14$，$(-22+15+24) = 17$，$(-6-7+1) = -12$。
总和：$14 + 17 - 12 = 19$。
提示：仔细进行加减运算，避免计算错误。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此，$\sum_{i,j=1}^{3} M_{ij} = 19$。
提示：答案是一个整数。
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