📝 西安电子科技大学 2026年高等代数真题

1、矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & 6 & 1\end{array}\right), M_{i j}$ 表示矩阵 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的余子式，则 $\sum_{i, j=1}^{n} M_{i j}=$ $\_\_\_\_$ ．

2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

4、矩阵 $A$ 的零化多项式为 $A^{4}+5 I=4 A^{2}$ 且 $\operatorname{det}(A)=8, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$A^{*}-3 I$的最小多项式 $f(\lambda)=$ $\_\_\_\_$。

5、特征多项式 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$ 的复矩阵按相似分类，可分为 $\_\_\_\_$类．

6、12 维线性空间 $V$ ，子空间 $U, W$ 的维数分别为 $3,4, \operatorname{dim}\left(U^{\perp} \cap W^{\perp}\right)$ 的最小值是
$\_\_\_\_$。

7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ．
（2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．

8、若 $\beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)$ 可由 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 c\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ c \\ 10\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ 的两种不同系数的线性表出．
（1）$c$ 的值．
（2）$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \\ c x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}+(12-c) x_{3}=7\end{array}\right.$ 的通解．

9、令 $\mathscr{A}$ 是 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 中任意向量可由 $\alpha, \mathscr{A} \alpha, \mathscr{A}^{2} \alpha$ 线性表出，且 $2 \alpha-5 \mathscr{N} \alpha+4 \mathscr{N}^{2} \alpha-\mathscr{N}^{3} \alpha=0$ ．
（1）求 $\mathscr{A}$ 的全部特征值与特征向量．
（2）是否存在 $V$ 中的一组基， $\mathscr{A}$ 在此基下为对角阵，若存在，求出此基，若不存在，请说明理由．

10、设二次型 $f(x)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的矩阵的特征值与特征向量．
（2）求正交线性替换 $X=C Y$ 使 $f(x)$ 为标准型．
（3）求 $f(x)$ 在条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ 下的最大值．

11、12维线性空间 $V$ ，且 $A B=B A . \operatorname{dim} V_{A}=5, \operatorname{dim} V_{B}=4, \operatorname{dim} V_{A+B}=6$ ．
（1）证明 $A B X=0$ 所生成的线性空间的维数最小值是 3 ．
（2）$R(A B) \leq R(A)+R(B)-R(A+B)$ ．

12、若 $g(x)$ 的各次系数的最大公因数为 1 ，且 $g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ，则称 $g(x)$ 是本原多项式。
（1）$h(x) \in \mathbb{Z}[x], d(x) \in \mathbb{Q}[x], g(x)$ 是本原多项式，若 $h(x)=d(x) g(x)$ ，证明：

$$
d(x) \in \mathbb{Z}[x]
$$

（2）$f(x) \in \mathbb{Z}[x], f^{2}(x)=1$ 有三个不同的整数根 $a, b, c$ ，证明：$f(x)$ 无整数根．

13、令 $A, B$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A V, B V$ 线性无关对任意非零 $V \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：
（1）$A B$ 可逆．
（2）$n$ 是偶数．

14、设 $A, B$ 是正定实对称矩阵．
（1）证明存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C A C=I, C^{T} B C$ 是对角元为正数的对角阵．
（2）证明 $\sqrt[n]{\operatorname{det}(A+B)} \geq \sqrt[n]{\operatorname{det}(A)}+\sqrt[n]{\operatorname{det}(B)}$ ．